Модуль 2 Невизначений, визначений і невласний інтеграли. Диференціальні рівняння. Кратні, криволінійні і поверхневі інтеграли

2.1 Інтегральне числення функцій однієї змінної

2.1.1 Неозначений інтеграл, його властивості. Основні методи інтегрування

Невизначеним інтегралом від деякої функції називається множина всіх первісних цієї функції, тобто

(2.1.1)

де - постійна; . – підінтегральна функція; – підінтегральний вираз.

Інтегрування функцій є операцією зворотною диференціюванню.

Таблиця 2.1 Таблиця інтегралів основних елементарних функцій

№		№
1.		9.
2.	(де )	10.
3.		11.
4.		12.
5.		13.
6.		14.
7.		15.
8.		16.

де – довільне число.

Основні властивості невизначеного інтеграла:

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції, тобто

.

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу, тобто

.

3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цій функції з точністю до постійної, тобто

.

4. Постійний множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла, тобто

.

5. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми декількох функцій дорівнює алгебраїчній сумі їх невизначених інтегралів, якщо останні існують, тобто

.

Теорема інваріантності. Всяка формула інтегрування зберігає свій вигляд при підстановці замість незалежної змінної будь-якої функції , що диференціюється, тобто якщо , то .

Правило обчислення невизначених інтегралів:

Якщо і , – постійні, то мають місце формули:

; (2.1.2)

; (2.1.3)

. (2.1.4)

○ Приклад 2.1.1. Знайти невизначений інтеграл:

а) ; б) .

Розв'язання.

а) ;

б)

. ●

Метод заміни змінної (або метод підстановки). Якщо функція інтегрується, а має неперервну похідну, то інтеграл можна знайти, зробивши заміну змінної, тобто

(2.1.5)

де .

За формулою (2.1.5) здійснюється заміна змінної в невизначеному інтегралі. При інтегрування іноді доцільніше підбирати заміну змінної не у вигляді , а . Наприклад, , якщо зробити заміну: і .

○ Приклад 2.1.2. Знайти невизначений інтеграл:

а) ; б) ; в) .

Розв'язання.

а) ;

б) ;

в) . ●

Метод інтегрування частинами основано на наступній формулі:

, (2.1.6)

де і диференційовані функції. У формулі (2.1.6) передбачається, що інтеграл не складніше за інтеграл .

Інтегрування частинами застосовується, наприклад, при інтегрування: ; ; ; ; ; , де і – натуральні числа.

○ Приклад 2.1.3. Знайти невизначений інтеграл:

а) ; б) .

Розв'язання. а)

;

б)

. ●

На прикладах розглянемо інтегрування деяких раціональних дробів, ірраціональних функцій і тригонометричних виразів.

○ Приклад 2.1.4. Знайти невизначений інтеграл:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Розв'язання.

а)

;

б)

,

де розкладання дробу має вигляд:

.

Звідки отримаємо або

Таким чином, , який використали в інтегралі;

в) ;

г) ;

д)

. ●