1.3 Теорія границь

1.3.1 Поняття границі функції. Властивості границь

Число називається границею функції при прямуванні до ( ), якщо для будь-якого, достатньо малого, числа існує такий окіл точки , що при всіх , що задовольняють умові виконується нерівність .

Границю функції при позначають

, (1.3.1)

де може дорівнювати також .

Якщо функція має границю при , то вона єдина.

Число називається правосторонньою (лівосторонньою) границею функції при , якщо для будь-якого, достатньо малого, числа існує такий правосторонній (лівосторонній) окіл точки , що для всіх , що задовольняють умові ( ) виконується нерівність .

Правосторонню границю функції при позначають

(1.3.2)

і лівосторонню границю функції при позначають

. (1.3.3)

Якщо в точці існує границя , тоді правостороння і лівостороння границі функції рівні і дорівнюють , тобто .

Обчислення границь базується на таких основних властивостях границь, які формулюються у вигляді теорем:

Якщо існують границі і , а - постійна, то:

; (1.3.4)

; (1.3.5)

; (1.3.6)

; (1.3.7)

; (1.3.8)

за умови . (1.3.9)

Для функції неперервної в точці :

; (1.3.10)

. (1.3.11)

Всі елементарні функції неперервні в області їх визначення.

Для будь якого , якщо ;

, якщо .

○ Приклад 1.3.1. Знайти границі функцій :

а) при ; б) при ; в) при і при .

Розв'язання. Згідно властивостей границь:

а)

.

б) .

Зауваження. Так як функції неперервні в точках , ці ж результати можна отримати, підставивши в них граничне значення . Наприклад, і ;

в) і . ●

○ Приклад 1.3.2. Знайти лівосторонні і правосторонні границі функції в точці .

Розв'язання. Лівостороння границя: і правостороння границя . ●

1.3.2 Розкриття невизначеностей

Якщо підстановка граничного значення у функції (1.3.9) призводить до того, що і , то «говорять», що знайдена невизначеність виду . У разі виявлення невизначеності необхідно перетворити функції і позбутися її, а потім обчислити границю. Після перетворень можна отримати або кінцеву або нескінченну границю. При розв'язуванні прикладів зустрічаються невизначеності виду: , , , , .

○ Приклад 1.3.3. Знайти границі:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Розв'язання. У прикладах а) і б) після підстановки отримаємо невизначеність виду . Для усунення невизначеності необхідно, наприклад, чисельники і знаменники дробів розкласти на найпростіші множники і скоротити ті множники, що призводять до невизначеності.

а)

;

б) .

У прикладах в) і г) після підстановки отримаємо невизначеність виду . Для усунення невизначеності необхідно винести за дужки в чисельнику і знаменнику дробу з найбільшим показником степені.

в) ;

г)

;

д) ;

е) . ●

Розкриття невизначеностей виду і в деяких прикладах приводе до чудових границь:

Перша чудова границя:

. (1.3.12)

Друга чудова границя:

або . (1.3.13)

○ Приклад 1.3.4. Знайти границі:

а) ; б) ; в) ; г) .

Розв'язання. У прикладах а) і б) після підстановки отримаємо невизначеність виду . Для усунення невизначеності необхідно виділити «першу чудову границю»:

а) ;

б)

.

У прикладах в) і г) після підстановки отримаємо невизначеність виду Для усунення невизначеності необхідно виділити «другу чудову границю» :

в) ;

г)

. ●

Література: [1, с. 76 ‑ 100], [2, с. 141 ‑ 166], [4, с. 186 – 203], [5].