7.4. Расчет безмоментных оболочек вращения
Оболочкой
принято называть тело, ограниченное
двумя непере-секающимися криволинейными
поверхностями, отстоящими друг от друга
на расстоянии δ, малом по сравнению с
другими размерами тела и называемом
толщиной оболочки. Геометрическое место
точек, равноудаленных от обеих поверхностей
оболочки, называется ее срединной
поверхностью. Если срединная поверхность
оболочки является плоскостью, то такая
оболочка называется пластиной. Если
срединная поверхность образует сферу
(или часть ее), цилиндр или конус, оболочка
называется соответственно сферической,
цилиндрической или конической. Геометрия
оболочки определяется также законом
изменения толщины стенки оболочки. На
практике как правило используются
оболочки постоянной толщины. Тонкими
называются такие оболочки, для которых
отношение толщины оболочки δ к наименьшему
радиусу кривизны срединной поверхности
Rmin
составляет величину, меньшую 1/20, то есть
для тонких оболочек
.
Осесимметричными
оболочками
называются такие оболочки, срединная
поверхность которых представляет собой
поверхность вращения.
Наиболее просто проводится расчет на прочность в случае, если тонкая оболочка имеет плавные очертания без скачкообразных изменений кривизны и толщины, и если при этом нагрузка равномерно распределена по поверхности оболочки. Тогда при расчете можно пренебречь изгибающими и крутящим моментами и не учитывать напряжения от изгиба и кручения. Такой расчет называется расчетом по безмоментной теории.
Рис. 7.7
На рис. 7.7
представлена осесимметричная оболочка
толщиной
,
находящаяся под действием давления р
газа или жидкости.
-
радиус кривизны дуги меридиана срединной
поверхности,
- радиус кривизны нормального сечения,
перпендикулярного к дуге меридиана
(рис. 7.7,б). Радиусы
и
являются
в общем случае функциями угла
- угла между нормалью и осью симметрии
оболочки. Двумя парами бесконечно
близких меридиональных и нормальных
конических сечений выделим из оболочки
бесконечно малый элемент
(рис.7.7,а).
Рис. 7.8
По боковым граням
выделенного элемента действуют только
нормальные напряжения
(рис. 7.8). Во взаимно перпендикулярных
гранях выделенного элемента действуют
тоже только нормальные напряжения
(рис.7.8).Напряжение
- называется меридиональным, а
- окружным напряжением. Кроме напряжений
и
на элемент оболочки действует внешняя
нагрузка, характеризуемая давлением
p.
Из уравнения равновесия рассматриваемого элемента в проекции на нормаль n можно получить уравнение
(7.2)
Это соотношение известно под названием уравнения Лапласа.
Рис. 7.9
Для части оболочки, отсеченной коническим нормальным сечением (рис.7.9) можно составить еще одно уравнение, спроектировав все силы на направление оси оболочки. Обозначая через P осевую равнодействующую внешних сил, получим
.
(7.3)
Из уравнения
равновесия (7.3) определяется
,
а затем из уравнения Лапласа (7.2) можно
определить напряжение
.
Примеры расчета приведены в [ 3 ], Разделы 2 и 4.
Вопросы для самопроверки
1. Какой изгиб называется косым изгибом?
2. Как определяются нормальные напряжения в данной точке поперечно-
го сечении бруса при косом изгибе?
3. Как найти положение нейтральной линии в поперечном сечении бруса при косом изгибе?
4. Может ли брус круглого поперечного сечения испытывать косой изгиб?
5. Как определяется полный прогиб бруса при косом изгибе?
6. В каком случае имеет место внецентренное растяжение (сжатие)?
7. По какой формуле определяется нормальное напряжение в данной точке поперечного сечения бруса при внецентренном нагружении?
8. Чему равно нормальное напряжение в центре тяжести поперечного сечения при внецентренном растяжении или сжатии?
9. Дайте определение ядра сечения.
10. Как определить положение нейтральной линии в поперечном сечении при внецентренном нагружении?
11. Для каких материалов необходимо строго следить за недопустимостью приложения нагрузки вне ядра сечения?
12. Какие напряжения возникают в поперечных сечениях вала при изгибе с кручением?
13. Как найти положение опасного сечения вала при изгибе с кручением?
14. Как записывается выражение для эквивалентного момента при изгибе с кручением вала круглого или кольцевого поперечного сечения в соответствии с третьей и четвертой гипотезами прочности?
15. Какой элемент конструкции называется оболочкой?
16. Что называется срединной поверхностью?
17. Что представляет собой тонкостенная осесимметричная оболочка?
18. В чем состоит расчет оболочки по безмоментной теории?
19. Какое сечение оболочки называется меридиональным?
20. Какое напряжение называется меридиональным?
21. Какое напряжение называется окружным?
22. Приведите уравнение Лапласа.
23. Какой цилиндр называется толстостенным?
24. Какие точки толстостенного цилиндра являются опасными?