Гипербола

Возьмем в уравнении (1): , , - , , , где , . Тогда (1) равносильно уравнению

. (4)

Определение 2. Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперболы.

Из уравнения (4) следует . Поэтому точки кривой (4) лежат вне прямоугольника . Выразим y из (4):

. (5)

Задача 3. Доказать что две функции (5) имеют асимптоты .

Из этой задачи следует, что прямые содержащие диагонали прямоугольника являются асимптотами гиперболы (1).

Обозначим

Определение 3. Точки называются фокусами гиперболы. Число называется эксцентриситетом гиперболы. Точки называются вершинами гиперболы.

Характеристическое свойство гиперболы аналогично характеристическому свойству эллипса.

Теорема 2. Для любой точки гиперболы (4) имеет место равенство

.

Замечание 2. Известная из школьного курса гипербола будет иметь уравнение (4) (с ) в новой системе координат , у которой оси координат получены поворотом осей на относительно точки 0.

Парабола

Положим в уравнении (1) , , , где . Тогда из (1) выведем соотношение

. (5)

Как известно, уравнение (5) задает кривую, называемую параболой.

Определение 4. Фокусом параболы (5) называется точка . Директрисой параболы называется прямая .

В следующей теореме сформулировано характеристическое свойство параболы.

Теорема 3. Для произвольной точки , лежащей на параболе (5) расстояние между точкой и фокусом равно расстоянию от точки до директрисы.

Рассмотрим еще некоторые частные случаи коэффициентов уравнения (1). Если , то получится уравнение которое задает пару пересекающихся прямых , то есть оси и .

Если , , то получится уравнение, , которое определяет одну прямую (ось ).

Если , , то уравнение (1) определяет пару параллельных прямых 1.

Уравнение (1) может задавать и одну точку (например, при ) и пустое множество (например, при , ).

Вышеперечисленные частные случаи охватывают все возможные линии, которые может определить уравнение (1). А именно справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Уравнение второго порядка (1) определяет либо окружность, либо эллипс, либо гиперболу, либо параболу, либо пару пересекающихся прямых, либо пару параллельных прямых, либо одну прямую, либо точку, либо пустое множество.

Раздел 5: Комплексные числа в алгебраической форме

Определение 1

Комплексными числами называются упорядоченные пары действи-тельных чисел , которые принято записывать в виде . Разделительный символ называют мнимой единицей.

Определение 2

Числа называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа и обозначают . Множество комплексных чисел обозначается , а элемент множества. Таким образом

.

Выражение называется алгебраической формой комплексного числа .

Определение 3

Комплексные числа вида называются чисто мнимыми. Комплексное число обозначают символом , то есть (этим объясняется название мнимая единица). Комплексное число вида считают совпадающим с его действительной частью и пишут .

Из определения 3 следует, что действительные числа являются частным случаем комплексного числа, то есть .

Определение 4

Комплексные числа называются равными, если у них соответственно равны действительные и мнимые части:

Определение 5

Комплексные числа называются сопряжёнными, если у них равны действительные части, а мнимые противоположны по знаку:

Число, сопряжённое числу , обозначается .

Из определения комплексного числа как упорядоченной пары действительных чисел получаем, что комплексное число можно изображать точкой плоскости .

Определение 6

Между множеством точек плоскости и множеством комплексных чисел (множество ) устанавливается взаимно однозначное соответствие:

каждой точке соответствует единственное число ; каждому числу соответствует единственная точка с координатами .

Плоскость , на которой изображены комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Комплексная плоскость, как и множество комплексных чисел обозначается буквой . Говорят, что точки плоскости имеют либо две действительные координаты: , либо одну комплексную координату: , где .

Рис.1.1