Обратная матрица
Определение.
Обратной для квадратной матрицы
называется такая матрица
,
что
,
где
есть единичная матрица.
Теорема.
Для квадратной
матрицы
существует обратная матрица
тогда и только тогда, когда
ее
определитель
.
При этом,
где
есть присоединенная матрица для матрицы
.
Пример.
Найти матрицу обратную для матрицы
.
Решение.
Найдем
определитель
=
.
Поэтому обратная матрица существует.
Для вычисления присоединенной матрицы,
найдем алгебраические дополнения
,
,
.
Присоединенная матрица равна
.
Поэтому
=
.
Проверка:
=,
,
.
Собственные значения и собственные векторы квадратных матриц
При
умножении квадратной матрицы
размера
на матрицу-столбец, имеющую
строк, получается так же матрица столбец.
Определение.
Число
называется собственным значением
квадратной матрицы
порядка
,
если существует ненулевая матрица-столбец
,
имеющая
строк, такая что
.
(1)
Матрица столбец с такими свойствами называется собственным вектором матрицы .
Уравнение (1) равносильно соотношению
,
(2)
в
котором
есть единичная матрица, а 0 справа в (2)
обозначает нулевую матрицу.
Пусть есть собственное число матрицы . Тогда если система (2) имеет ненулевое решение относительно , то
.
(3)
Действительно
если
то существует обратная матрица
и (2) имеет единственное нулевое решение.
Таким образом,
доказана следующая теорема.
Теорема. Собственные значения матрицы удовлетворяют уравнению (3).
Определение. Уравнение (3) называется характеристическим.
Если
раскрыть определитель
,
то получим многочлен степени
относительно
(
-порядок
матрицы
).
Следовательно (3) есть алгебраическое
уравнение
-ой
степени относительно
.
Если
есть какой-нибудь корень уравнения (3)
то соответствующий ему собственный
вектор
может быть найден как ненулевое решение
системы (2), например, с помощью метода
Гаусса.
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
.
Решение. Вычислим определитель
.
Характеристическое
уравнение (3) примет вид
=0.
Его корнями будут числа
.
Обозначим
.
При
система (2) примет вид
;
,
.
Таким образом, система имеет бесконечное
число решений вида
,
,
.
Положим
.
Тогда
есть собственное значение матрицы
,
а соответствующие
собственные векторы имеют вид
где
.
Аналогично доказываются, что
есть второе собственное значение матрицы
и соответствующие ему собственные
векторы имеют вид
,
где
.
Решение систем линейных уравнений
Рассмотрим систему из линейных уравнений с неизвестными.
(1)
Здесь
,
есть известные числа, которые называются
соответственно коэффициентами при
неизвестных и свободными членами.
Систему (1) можно записать компактнее. Для этого рассмотрим матрицы
,
,
.
Используя эти обозначения, систему (1) можно записать так
.
(2)
Определение.
Уравнение
(2) называется матричной формой записи
системы (1). Матрицу
называют матрицей системы (1), матрицы
,
называют столбцами неизвестных и
свободных членов соответственно.
Кроме
матрицы
удобно рассматривать матрицу
,
которая называется расширенной матрицей
системы (1).
Определение.
Система (1)
называется совместной, если она имеет
решение
В противном случае система называется
несовместной. Система (1) называется
определенной, если она имеет единственное
решение. Система (1) называется
неопределенной, если решений бесконечно
много.
Определение.
Если
,
то система (1) называется однородной. В
противном случае - неоднородной.
Заметим,
что однородная система (1) всегда
совместна, поскольку числа
являются ее решениями.
Определение. Равносильными или эквивалентными называются системы, имеющие одно и то же множество решений.