Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме
Перемножим
два комплексных числа
,
,
записанных в тригонометрической форме:
.
Получили
новое число
,
записанное в тригонометрической форме:
,
для которого
.
Правило умножения
При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Заметим, что в результате умножения чисел может получиться аргумент произведения, не являющийся главным значением.
Утверждение.
Частным
деления комплексных чисел
,
,
записанных в тригонометрической форме
является число
.
Правило деления
Модуль частного, полученного в результате деления чисел, заданных в тригонометрической форме, равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:
.
В результате деления чисел может получиться аргумент частного, не являющийся главным значением.
Правило возведения в степень
При возведении в степень комплексного числа в эту степень возводится модуль числа, а аргумент умножается на показатель степени:
.
При
равенство
принимает вид
.
Данное равенство называется формулой Муавра.