Раздел 2: Векторная алгебра Определение вектора

Б удем предполагать, что из школьного курса математики нам известны такие понятия, как прямая, плоскость и пространство.

Определение. Вектором называется направленный

отрезок, на котором заданы начало и конец.

Вектор обозначают либо одной строчной буквой

со стрелкой наверху , либо двумя заглавными буквами, обозначающими начало и конец вектора, и стрелкой наверху ( , …). Длиной вектора называется длина отрезка . Длина вектора обозначается .

Определение. Вектор, имеющий нулевую длину, обозначается и называется нулевым. Нулевой вектор не имеет длины и направления.

Определение. Ненулевые векторы и называются коллинеарными, или параллельными и пишут , если эти векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Считается, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение. Ненулевые векторы и называют сонаправленными и пишут , если они коллинеарны и имеют одинаковые направления.

Определение. Ненулевые векторы и называют равными и пишут

= , если 1) , 2) и .

Определение. Ненулевые векторы и называют противоположными и пишут (или ), если 1) , 2) , 3) и имеют противоположное направление.

Определение. Три вектора называют компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Операции с векторами

Произведение вектора на число.

О пределение. Произведением ненулевого вектора на действительное число называется вектор, длина которого равна , а направление совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если . Для любого вектора и действительного числа по определению считаем, что .

Пример. Если

Сумма векторов.

Определение. Суммой двух векторов и называют вектор (и пишут ), который находят по следующему правилу: сохраняя первоначальное направление, начало вектора совмещают с концом вектора . Тогда начало вектора совпадает с началом вектора , а конец вектора совпадает с концом вектора (см. рис. 1). Данное правило называется правилом треугольника.

Упражнение. Доказать, что сумма векторов и может быть найдена по правилу параллелограмма: сохраняя первоначальное направление, начало вектора совмещаем с началом вектора . Тогда вектор , равный сумме векторов и , имеет начало в точке совмещения векторов и , а конец совпадает с противоположной вершиной параллелограмма, построенного на векторах и (см. рис. 2).

Упражнение. Доказать, что операция сложения векторов обладает свойствами коммутативности: и ассоциативности: ( ) .

Разность векторов.

Операция вычитания векторов определяется как обратная к операции сложения.

Определение. Разностью векторов и называют третий вектор (и пишут ) такой, что .

Упражнение. Доказать, что

Теорема 1. Вектор коллинеарен ненулевому вектору ( ) тогда и только тогда, когда существует действительное число такое, что

. (1)

Доказательство.

Достаточность очевидна. Если , то согласно определений коллинеарности и умножения вектора на число.

Необходимость. Если , то положим . Тогда . Пусть . Если и векторы , сонаправлены, то положим . Тогда (1) выполняется поскольку . Если и векторы , имеют противоположные направления, то положим . Тогда (1) выполнено, поскольку векторы и сонаправлены и . Теорема доказана.