Система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точек и векторов

Угол между векторами.

Отложим векторы , из общей точки: . По определению углом между векторами и называется угол между прямыми и , лежащий в промежутке . Если , то , если векторы , коллинеарны и направлены в противоположные стороны, то Если , то векторы и называют перпендикулярными, или ортогональными и пишут .

С истема координат на плоскости и в пространстве.

П усть есть прямоугольная система координат на плоскости. Обозначим такие векторы, что и , Векторы называются базисными или координатными векторами.

Рассмотрим в плоскости вектор (см. рис.). Пусть есть угол между положительными направлениями оси и векторам , отсчитанным против часовой стрелки. Обозначим . Тогда очевидно, и . Аналогично, обозначим , где угол между положительным направлением оси и вектором . Тогда и . Следовательно, . Это соотношение символически записывают следующим образом: , или . Таким образом, запись означает, что . Числа называются координатами вектора .

П усть есть прямоугольная система координат в пространстве. Обозначим через вектор единичной длины, сонаправленный с осью и пусть векторы и числа определены также, как и выше. Векторы называются базисными или координатными векторами в пространстве. Обозначим через угол между положительным направлением оси и вектором и пусть .

Упражнение. Доказать, что .

Последнюю формулу записывают так: , или .

Теорема 2. Если то и для любого действительного числа имеет место равенство .

Таким образом, при сложении и вычитании векторов, соответствующие их координаты складываются или вычитаются, при умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число.

Координаты точки.

Если в пространстве имеется прямоугольная система координат , то для любой точки пространства координатами точки называют координаты вектора . Таким образом, если , то говорят, что точка имеет координаты и записывают или . Числа называют соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой точки Аналогично определяют координаты точки на координатной плоскости . Если , то или

Теорема 3. Если то .

Доказательство.

. (см. рис.). Теорема доказана.

Следствие. Если и , то

.

Теорема 4. Если , и точка есть середина отрезка , то .

Доказательство.

Из теоремы 3 следует, что . Тогда

и из следствия к теореме 3 выведем:

.Теорема доказана.

Задача. Если и точка делит отрезок в отношении (то есть ), то

.

Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух векторов , называется число

,

где есть угол между векторами , .

Скалярное произведение обозначается также . Если , то скалярное произведение принимает вид и называется скалярным квадратом вектора и обозначается . Легко видеть, что .

Свойства скалярного произведения векторов.

1. Коммутативность: для любых векторов , .

2. для любых векторов , и любого действительного числа .

3. Дистрибутивность: для любых векторов , , .

Утверждение 1. Пусть , есть ненулевые векторы. Векторы , перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

Задача. Доказать утверждение 1 и свойства 1-3 скалярного произведения.

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами.

Пусть в пространстве имеется прямоугольная система координат с базисными векторами .

Утверждение 2. Если , , то .

Доказательство.

Поскольку и , то из свойств 1-3 скалярного произведения следует

.

Так как векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину, то . Лемма доказана.

Следствие. Если , то .

Доказательство. Если положить , то из утверждения 2 выведем:

. Следствие доказано.

Замечание. Аналогичные формулы справедливы для векторов на плоскости. Если , , то и , если .