Уравнение плоскости

Известно, что через три точки в пространстве, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат . Составим уравнение плоскости , проходящей через три заданные точки , , .

Возьмем произвольную точку и рассмотрим векторы

, , .

Легко видеть, что тогда и только тогда, когда векторы , , компланарны, то есть когда равно нулю их смешанное произведение: ( , , ) (см. замечание 2, пункта 5, §1). Из теоремы 1, пункта 5, §1 следует, что это равносильно уравнению

. (1)

Равенство (1) называется уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки. Вычислив определитель, придем к соотношению:

, (2)

где , , .

Если обозначить , то получим ещё одно равенство

. (3)

Уравнение (3) называется общим уравнением плоскости.

Геометрический смысл коэффициентов уравнения (3).

Теорема 1. Если плоскость определяется уравнением (3), то .

Доказательство.

Возьмем произвольные точки . Точно так же, как в теореме 1, пункта 1, §2 доказывается, что . Следовательно, перпендикулярен любой прямой в плоскости и, значит, . Теорема доказана.

Любой вектор перпендикулярный плоскости называется вектором нормали к этой плоскости.

Из теоремы 1 следует, что если плоскость проходит через точку и вектор (то есть есть вектор нормали к ), то уравнением плоскости является соотношение (2).

Расположение плоскостей в пространстве

Теорема 2. Пусть плоскости , заданы уравнениями

(4)

и

(5)

соответственно. Плоскость тогда и только тогда, когда . Плоскость тогда и только тогда, когда .

Доказывается эта теорема точно так же, как теорема 1, пункта 2, §2.

Угол между плоскостями.

Теорема 3. Если плоскости , заданы уравнениями (4), (5) соответственно и есть угол между и , то

. (6)

Здесь , .

Доказательство.

Пусть есть угол между векторами , . Из теоремы 1 следует и . Отсюда следует, что если острый угол, то и , если - тупой угол, то , и . Таким образом, в обоих случаях справедлива формула (6). Теорема доказана.

Задача 1. Пусть плоскость задана уравнением (3). Доказать, что

1. если , то , если , то , если , то ;

2. если , то , если , то , если , то .

Расстояние от точки до плоскости.

Теорема 4. Если плоскость задана уравнением (3), то расстояние от точки до плоскости равно

. (7)

Доказательство.

Проведем через точку прямую . Тогда . Обозначим . Поскольку , то из теоремы 1, §1 вытекает существование такого действительного числа , что и, следовательно (следствие к теореме 3, § 1), . Точка . Поэтому

.

Выразим отсюда : . Следовательно, . Теорема доказана.