Прямая в пространстве

Пусть прямая находится в пространстве.

Определение. Любой ненулевой вектор такой, что , называется направляющим вектором прямой .

Предположим, в пространстве задана прямоугольная систем координат и пусть прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор . Возьмем произвольную точку . Тогда . Точка тогда и только тогда, когда , то есть (теорема 1, §1) существует такое, что . Приравняв три координаты, выведем следующие соотношения:

, . (8)

Уравнения системы (8) называются параметрическими уравнениями прямой с направляющим вектором и проходящей через точку .

Если в каждом из равенств (8) выразить , то придем к каноническому уравнению прямой в пространстве

. (9)

Замечание 1. Соотношения (9) представляют собой два уравнения и . Первое равенство представляет собой уравнение плоскости, параллельной оси , второе равенство является уравнением плоскости, параллельной оси . Таким образом, уравнения (9) задают прямую, как линию пересечения двух плоскостей.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пусть прямая проходит через две точки , . Тогда вектор является направляющим вектором прямой и из (9) выведем уравнение прямой, проходящей через заданные точки

.

Расположение прямой и плоскости.

Теорема 5. Пусть прямая задана уравнениями (8) (или (9)), плоскость задана уравнением (3) и пусть есть угол между и . Тогда

. (10)

Прямая тогда и только тогда, когда

. (11)

Доказательство.

Из условия вытекает, что , . Пусть есть угол между и . Легко видеть, что если - острый угол, то , если , то и . В первом случае . Во втором случае . Формула (10) доказана.

Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда . Отсюда вытекает (11). Теорема доказана.

Следствие. Прямая тогда и только тогда, когда .

Действительно, тогда и только тогда, когда .

Расстояние от точки до прямой.

Теорема 6. Если прямая задана уравнениями (8), то расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле

. (12)

Здесь .

Доказательство. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна (замечание 3, п. 5, § 1). С другой стороны, . Из этих равенств следует (12). Теорема доказана.

Раздел 4: Кривые второго порядка

Пусть на плоскости имеется прямоугольная система координат.

Определение. Линией второго порядка называется кривая на плоскости, координаты точек которой удовлетворяют уравнению

. (1)

Здесь есть константы такие, что 0

Рассмотрим различные частные случаи кривых второго порядка.

Окружность

Если в уравнении (1) положить , , , где >0, то получится уравнение . Как известно, данное соотношение является уравнением окружности с центром в начале координат радиуса .

Замечание 1. Уравнение (1) задает окружность, если , и принимает подходящее значение.

Эллипс

Если , , , , где , >0, , то из соотношения (1) получается уравнение

. (2)

Равенство (2) называется каноническим уравнением эллипса. Числа называют полуосями эллипса. Заметим, что из (2) вытекает оценка , то есть . Аналогично доказывается неравенство .

Т аким образом, точки кривой (2) лежат в прямоугольнике

.

Рассмотрим случай, когда . Обозначим через отображение плоскости в себя такое, что

( , ). (3)

Отображение является сжатием вдоль оси с коэффициентом <1.

Задача 1. Доказать что при отображении (3) квадрат переходит в прямоугольник .

Задача 2. Доказать что кривая (2) является образом окружности при отображении (3).

Из задачи 2 следует, что эллипс (2) получается из окружности после сжатия ( при ) вдоль оси _.

Обозначим = .

Определение 1. Фокусом эллипса (2) называются точки .

Число называется эксцентриситетом эллипса.

В следующей теореме сформулировано характеристическое свойство эллипса.

Теорема 1. Для любой точки эллипса (2) сумма расстояний от точки до фокусов постоянна и равна : .

Данное свойство может быть использовано при построении эллипса.

Если , то эллипс (2) получается из окружности с помощью отображения (3), которое в данном случае представляет собой растяжение вдоль оси с коэффициентом >1 (эллипс вытянут). В этом случае = и фокусы эллипса лежат на оси : .