Векторное произведение

Определение.1. Три некомпланарных вектора , , , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если после приведения их к общему началу, вектор расположен по ту сторону от плоскости, содержащей векторы и , откуда кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой.

Пример. -правая тройка, -левая тройка, - правая тройка.

Замечание 1. Если тройка векторов является правой, то, очевидно, тройки и являются левыми.

Определение 2. Векторным произведением вектора на неколлинеарный ему вектор называется такой вектор , который удовлетворяет следующим трем условиям:

1. длина вектора есть , где -угол между векторами и ;

2. вектор перпендикулярен векторам и : , ;

3. векторы , , , взятые в указанном порядке образуют правую тройку.

Если векторы и коллинеарны, то их векторное произведение считается равным .

Векторное произведение векторов и обозначается или .

Замечание 2. Условия 1), 2) определения 2 определяют вектор с точностью до двух взаимно противоположных направлений. Условие 3) позволяет выбрать одно из этих двух направлений.

Замечание 3. С геометрической точки зрения условие 1) равносильно тому, что длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Для любых векторов , , и любого действительного числа справедливы следующие свойства векторного произведения:

1. (антикоммутативность);

2. ;

3. .

Вычисление векторного произведения.

Пусть в пространстве определена декартова система координат , причем координатные векторы образуют правую тройку.

Теорема 1. Если , , то

(1)

Доказательство.

Из определения векторного произведения следуют следующие соотношения

, , , , , .

Отсюда, используя свойства 1-3 векторного произведения выведем

.

Теорема доказана.

Замечание 4. Используя определение определителя 3^го порядка, равенство 1 можно представить в следующей символической форме

.

Пример. Вычислить координаты вектора , если , .

Решение.

.

Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением векторов , , называется скалярное произведение вектора на вектор :

.

Смешанное произведение обозначается также следующим образом:

.

Теорема 1. Абсолютная величина смешанного произведения некомпланарных векторов равна объему параллелепипеда, построенного на данных векторах (см.рис.). Тройка является правой тогда и только тогда, когда .

Доказательство.

И з пункта 1 определения следует, что длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах , . Поэтому , где есть угол между векторами и . Если правая тройка, то угол острый и , если , , - левая тройка, то тупой и . Отсюда вытекает второе утверждение теоремы. Высота параллелепипеда вычисляется по формуле . Поэтому его объем вычисляется по формуле . Следовательно, . Теорема доказана.

Вычисление смешанного произведения.

Теорема 2. Пусть , , . Тогда

.

Доказательство.

Из формулы (1) и утверждения 2 пункта 4 выведем

.

Теорема доказана.

Замечание 2. Из определения смешанного произведения и теоремы 2 следует, что три вектора , , компланарны тогда и только тогда, когда , то есть .