Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

Определение 7

Суммой двух комплексных чисел и называется число такое, что справедливы равенства , то есть

.

Обозначение: .

Правило сложения

При сложении комплексных чисел складываются действительные и мнимые части соответственно.

Определение 8

Разностью чисел называется число такое, что .

Обозначение: . Используя правило сложения, получаем для нахождения разности , равенства .

Правило вычитания

При нахождении разности из действительной и мнимой частей уменьшаемого вычитаются соответственно действительная и мнимая части вычитаемого: .

Определение 9

Произведением чисел и называется число такое, что выполняются равенства . Таким образом, 0бозначение: .

Правило умножения

Комплексные числа перемножаются, как двучлены, при этом учитывается, что .

Определение 10

Частным от деления числа на называется число такое, что справедливо равенство . Обозначение: .

Правило деления

Чтобы разделить число на , следует числитель и знаменатель дроби умножить на число , сопряжённое знаменателю.

.

Определение 11

Возведение комплексного числа в степень - это нахождение произведения сомножителей, каждый из которых равен , т.е. .

Правило возведения в степень

При возведении в степень числа (нахождении ) используется правило возведения в степень двучлена , в общем случае применяется формула бинома Ньютона:

.

Определение 12

Корнем степени из комплексного числа называется число , такое, что . Обозначение: .

Правило извлечения корня

Для извлечения корня (нахождения ) следует, используя определение корня и правило возведения в степень, составить и решить систему уравнений относительно искомых :

Свойства операции комплексного сопряжения:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

В двух последних равенствах - многочлены с действительными коэффициентами степени соответственно.

Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах Основные определения

Каждому комплексному числу геометрически соответствует точка на плоскости . Но положение точки на плоскости, кроме декартовых координат , можно зафиксировать другой парой – её полярных координат в полярной системе:

Рис.1.2

Величина , называемая полярным радиусом, является неотрицательной и для данной точки определяется единственным образом, а полярный угол при может принимать бесчисленное множество значений: если есть полярный угол точки , то величины также являются полярными углами точки .

Например, если для точки (см. рис. 1.1) выбрать , то ей соответствует любое , в частности при . Если же выбрать , то , а при получаем .

Используя связь декартовых и полярных координат точки , из алгебраической формы комплексного числа получаем тригонометрическую форму:

(*).

Определение 1

Для любого действительного числа обозначим

.

Равенство называется формулой Эйлера.

Из формулы Эйлера и (*) получим показательную форму записи комплексного числа:

.

Здесь

Заметим, что геометрически задание комплексного числа равносильно заданию вектора , длина которого равна , т.е. , а направление – под углом к оси (рис. 1.2).

Определение 2

Число , равное длине радиус-вектора точки называется модулем комплексного числа . Обозначение: .

Из рис. 1.2 получаем формулу для нахождения модуля числа, заданного в алгебраической форме :

.

Очевидно, что только для числа .

С помощью правила вычитания запишем модуль числа , где и : . А это, как известно, есть формула для расстояния между точками и .

Таким образом, число есть расстояние между точками на комплексной плоскости.

Определение 3

Множество значений полярного угла точки называется аргументом комплексного числа и обозначается . Если есть полярный угол точки , то пишут . Значение полярного угла точки , лежащее на промежутке , называется главным значением аргумента комплексного числа и обозначается .

Из определения 3 следует, что если , то и

.

Формулу для нахождения аргумента комплексного числа , заданного в алгебраической форме, получаем, используя связь декартовых и полярных координат точки (см. рис. 1.2). Для точек, не лежащих на мнимой оси, т.е. для , у которых , получаем , для точек мнимой положительной полуоси, то есть для , у которых , имеем , для точек мнимой отрицательной полуоси, то есть для , у которых , соответственно .

Для числа - аргумент не определён.

Нахождение аргумента при сводится к решению тригонометрического уравнения . При , то есть когда - число действительное, имеем при при . При решение уравнения зависит от четверти плоскости . Четверть, в которой расположена точка , определяется по знакам .

Не трудно вывести:

При решении примеров удобно пользоваться схемой, которая изображена на рисунке 1.4.