5.1.5 Оценка адекватности модели

Вычисление коэффициентов регрессии еще не означает решения поставленной задачи, так как отсутствуют сведения о качестве (точности) модели. Основой суждений о качестве модели служит ошибка опыта. Для того чтобы можно было её установить, необходимо для каждой точки плана проводить параллельные опыты (не менее двух). Важным обстоятельством в этом случае является близость значений ошибок в разных точках факторного пространства, т.е. однородность дисперсий. Это дает возможность вести параллельные опыты только в центре плана, по их результатам вычислять оценку дисперсии и утверждать, что она справедлива для всех точек факторного пространства.

Если нет уверенности в однородности дисперсий, приходится проводить параллельные опыты во всех, или, по крайней мере, в нескольких точках плана, вычислять оценки дисперсий и проверять их однородность. Для этой цели используют критерий Кохрена (5.4). Оценку дисперсии вычисляют по формуле (5.3). Считают, что дисперсии однородные, если расчетное значение критерия Кохрена G_p не превышает табличного G. Ошибка опыта в случае однородности дисперсий:

. (5.16)

Эту величину называют оценкой дисперсии воспроизводимости результатов эксперимента. Число степеней свободы при этом определяют по формуле:

f_y = N(k – 1), (5.17)

где k – число параллельных опытов в строке матрицы плана. При вычислении ошибки опыта только в центре плана используют формулу (5.3). В связи с наличием дублирующих опытов вычисляют оценку дисперсии среднего значения отклика:

(5.18)

Некоторые из коэффициентов регрессии могут оказаться пренебрежимо малыми. Для определения значимости коэффициента необходимо вычислить оценку дисперсии:

(5.19)

и среднеквадратическую ошибку его определения

. (5.20)

Следует отметить, что на основе полнофакторного плана все коэффициенты определяются с одинаковой погрешностью. Принято считать, что коэффициент регрессии значим, если выполняется условие:

(5.21)

где t – значение критерия Стъюдента (прил.6) при числе степеней свободы f = f_ij. Иначе коэффициент незначим, и соответствующий член можно исключить из уравнения регрессии. Зная ошибку опыта, можно выявить пригодность модели, проверить её адекватность. Эту проверку осуществляют с помощью критерия Фишера:

(5.22)

где - оценка дисперсии адекватности:

(5.23)

В – число коэффициентов регрессии искомого уравнения, включая свободные члены; Y_j^Э, Y_j^Р – значения функций отклика, полученные соответственно экспериментально в результате проведения j-го опыта и расчётным путём - решением регрессионного уравнения (12.8) при уровнях факторов, соответствующих данному опыту; N – число опытов.

Число степеней свободы при этом определяется по формуле:

f_ад = N – B. (5.24)

Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие:

F_p ≤ F, (5.25)

где F – табличное значение критерия Фишера (прил. 8). Для его отыскания необходимо знать числа степеней свободы f₁ = f_ад и f₂ = f_y, связанные с параметрами, входящими в уравнение (5.22).

Рассмотрим пример. Найдём полиномиальную модель расхода топлива автомобилем ЗИЛ-4331. Предположим, что отклик Y – это расход топлива Q (в литрах на 100 км. пробега). Он определяется четырьмя факторами: x₁ – продольный уклон профиля дороги (α_пр); x₂ – коэффициент сопротивления качению; x₃ – коэффициент извилистости дороги, представляющий собой отношение суммы углов поворота к длине опытного участка (град/км); x₄ – удельная мощность двигателя Р_уд (Вт/т). Начальные нулевые уровни и интервалы варьирования факторов приведены в таблице 5.6.

Таблица 5.6

Уровни и интервалы варьирования факторов

Уровень фактора	x1, (αпр), %	x2, (f0)	x3, (Кизв), град/км	x4, (Руд), Вт/т
1	2	3	4	5
1	2	3	4	5
Средний	33,7	0,0265	30,0	11,7
Нижний	16,6	0,0130	5,0	10,2
Верхний	50,8	0,0400	55,0	13,2
Интервал	17,1	0,0135	25,0	1,5

Используя формулу (5.6), перейдём от действительных уровней факторов к кодированным:

; ; ; .

Математическую модель рассматриваемого процесса будем искать в виде уравнения регрессии:

Y = b_o+b_lX_l +b₂X₂+b₃X₃ +b₄X₄+b₅X₅ + b_l2X₁X₂+ b_l3X₁X₃+ b_l4X₁X₄+ b₂₃X₂X₃+ b₂₄X₂X₄+ b₃₄X₃X₄.

Составим матрицу плана и занесём результаты опытов для четырех факторов в таблице 37. В ней y₁, y₂, y₃ – значения результатов параллельных опытов, Y_{j cp} – их среднее значение, Y_j^Р – расчётное значение отклика. Определим также оценки дисперсий для каждой из 16 серий опытов по формуле (5.3) и запишем их в таблицу 37. Для проверки однородности дисперсий вычислим расчётное значение критерия Кохрена по формуле (12.4): G_p=0,73/5,79 = 0,126. Табличное значение данного критерия при N = 16 и f = 3 – 1 = 2 равно G = 0,3222. Т.к. G_p ≤ G, то дисперсии являются однородными с доверительной вероятностью 0,95.

Таблица 5.7

План и результаты полного четырехфакторного эксперимента

№	Уровни факторов и их взаимодействия										Расход топлива, л/100 км					σj2
	X1	X2	X3	X4	X1X2	X1X3	X1X4	X2X3	X2X4	X3X4	y1	y2	y3	Yi CP	YjP
1.	-1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	40,0	40,7	39,0	39,9	40,28	0,73
2.	+1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	53,0	52,5	53,5	53,0	52,6	0,25
3.	-1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	58,5	59,0	57,6	58,4	58,03	0,50
4.	+1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	67,6	67,0	68,2	67,6	67,98	0,36
5.	-1	-1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	52,1	52,8	51,9	53,2	51,9	0,23
6.	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	60,7	60,5	51,2	60,8	61,18	0,13
7.	-1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	63,0	64,0	63,5	63,5	63,88	0,25
8.	+1	+1	+1	-1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	71,2	70,7	71,8	71,2	70,8	0,30
9.	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	43,1	43,8	42,1	43,0	43,38	0,73
10.	+1	-1	-1	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	57,8	57,3	58,3	57,8	57,42	0,25
11.	-1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	61,6	62,1	60,7	61,5	61,12	0.50
12.	+1	+1	-1	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	72,4	71,8	73,0	72,4	72,80	0,36
13.	-1	-1	+1	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	55,2	55,9	55,1	55,4	55,00	0,19
14.	+1	-1	+1	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	65,2	65,3	66,0	65,5	66,00	0,19
15.	-1	+1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	66,1	67,1	66,6	66,6	66,98	0,25
16.	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	76,0	75,1	76,6	75,9	75,62	0,57

Определяем ошибку опыта по формуле (5.19): σ_y² = 5,79/16 = 0,362; σ_y = 0,601. Коэффициенты регрессионной модели вычисляем по формулам (5.13) – (5.15):

Аналогично находим b₀ = 60,31; b₂ = 6,84; b₃ = 3,81; b₄ = 1,98; b₁₂ = - 0,59; b₁₄ = 0,43; b₂₃ =- 1,44; b₂₄ = 0; b₃₄ = 0. Для анализа среднеквадратической ошибки определения коэффициентов регрессии находим оценку дисперсии среднего значения отклика по формуле (5.18):

и оценку дисперсии коэффициентов по формуле (5.19):

Среднеквадратическая ошибка определения коэффициентов, согласно формуле (5.19), составит: Оценим значимость коэффициентов регрессии. Пользуясь таблицей критерия Стъюдента (прил.6), находим, что при доверительной вероятности Р = 0,95 и числе степеней свободы f =f_y = 16(3 – 1) =32, значение указанного критерия составляет t = 2,04. Тогда σ_Вt = 0,0868 x 2,04 = 0,177. Согласно соотношению (5.21) незначимыми оказались коэффициенты b₂₄ и b₃₄. Следовательно, искомое уравнение регрессии примет вид:

Y = 60,31 + 5,24X_l + 6,84X₂ + 3,61X₃ + 1,98X₄ - 0,59X₁X₂ - 0,77X₁X₃ + 0,43X₁X₄ -1,44X₂X₃ (5.26)

Найдём расчётные значения функции отклика: Другие расчётные значения представлены в таблице 5.7. По формуле (5.23) вычисляем оценку дисперсии адекватности модели:

Число степеней свободы рассчитаем по формуле (5.24): f_ад = N – B = 16 - 9 = 7.

Расчётное значение критерия Кохрена вычислим по формуле (5.22):

Табличное значение критерия Кохрена находим по таблице (прил. 8) при уровне доверительной вероятности Р = 0,95, f₁ = f_ад = 7, f₂ = f_y = 32: F=2,32. Т.к. F_p<F, то с доверительной вероятностью 95% модель адекватно описывает изучаемую зависимость. Эта модель справедлива для интервалов уровней факторов, указанных в таблице 5.7. Анализ выражения (5.26) показывает, что по степени влияния на расход топлива, исходя из значений коэффициентов регрессии, факторы располагаются в следующем порядке: коэффициент сопротивления качению; продольный уклон профиля дороги; коэффициент извилистости дороги; удельная мощность двигателя. При возрастании уровня этих факторов расход топлива увеличивается. Эффекты взаимодействия факторов (за исключением X₂X₃) примерно на порядок меньше их линейных эффектов.