5.2.9 Оценка измеряемых параметров и их доверительных интервалов

При выполнении измерений параметров автомобиля приходится, как правило, иметь дело с большим объёмом выборки, поэтому вопросы точности и достоверности получаемых результатов приобретают существенную роль. Статистическими характеристиками получаемых при эксперименте величин измеряемого параметра является среднее значение, (математическое ожидание), среднеквадратическое отклонение от среднего значения и дисперсия. Для исследуемых величин следует найти такой интервал их измерения, в котором с наибольшей степенью достоверности будет находиться истинное значение параметра. Величину измеряемого параметра оценивают по среднему выборочному значению. Для объёма выборки объёма К его вычисляют по формуле (12.2). Рассчитанное по данной зависимости оно считается состоятельной, эффективной и несмещённой. Дисперсию и среднеквадратическое отклонение вычисляют по формулам (12.3) и (12.19) соответственно.

Экспериментально установлено, что большинство величин параметров механических узлов, работающих в условиях абразивного изнашивания, регистрируемых при испытаниях, подчиняются нормальному закону распределения. При нормальном законе распределения случайной величины доверительный интервал определяют с доверительной вероятностью Р_д по формуле:

, (5.68)

где - коэффициент Стьюдента для n степеней свободы; – несмещенная оценка дисперсии.

Рассмотрим пример. При определении величин среднеквадратических виброускорений на сиденье водителя при заездах на дороге с цементобетонным покрытием с постоянной скоростью получены следующие значения σ_z м/с²: 0,98; 1,22; 1,02; 1,17; 1,27; 1,14. Требуется найти 90-процентный доверительный интервал для среднего значения.

Рассчитаем среднее значение по выборкам по формуле (5.2):

м/с².

По формуле (5.3) определим величину дисперсии:

Находим среднеквадратичное отклонение:

м/с².

Уровень доверительной вероятности устанавливаем равным 90 %. При этом выборочные средние значения равны: = 1,13 м/с², дисперсия равна соответственно: м²/с⁴ для объема выборки N = 6. Определяем число степеней свободы n. При одном оцениваемом параметре n = 5. Погрешность определения принадлежности к интервалу, (вероятность ошибки 1–го рода) . Погрешность интервала (смещение) доверительной вероятности вычислим по формуле: α/2 = 0,1/2 = 0,05. По таблице 42 распределения Стьюдента находим коэффициент сходности для выборки при выбранном уровне доверительной вероятности 90%, значении степеням свободы 5 и смещении доверительного интервала 0,05: .

Таблица 5.12

Процентные точки распределения Стьюдента

tn
	n
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0,1	3,078	1,886	1,638	1,553	1,476	1,440	1,415	1,397	1,383	1,372
0,05	6,314	2,920	2,353	2,132	2,015	1,943	1,895	1,860	1,833	1,812
0,025	2,076	4,303	3,182	2,776	2,571	2,447	2,365	2,306	2,262	2,228

1,04 ≤ Y ≤ 1,22.

Вывод: расчётное значение среднего выборочного попадает в теоретически обоснованный доверительный интервал 1,04….1,22 м/с² с доверительной вероятностью 90%.

При планировании испытаний иногда требуется необходимое количество экспериментов, повторяющихся в ходе исследований или узлов, подвергающихся исследованию. При этом необходимые статистические параметры рассматриваемых случайных величин должны быть заранее определены аналитически, или получены на основании проводившихся ранее экспериментов, или по испытаниям аналогичных узлов, агрегатов и деталей. Это, как правило, показатели достоверности результатов (доверительная вероятность) и их точности (обычно предельная величина ошибки). Если рассматривается случайная величин х_i, подчиняющаяся нормальному закону распределения с известным значением дисперсии , но неизвестным средним выборочным. Среднее арифметическое вычисляется по формуле (12.2). Известны величины предельной ошибки ε и уровня доверительной вероятности α. Для нахождения объёма выборки (объёма испытаний) n необходимо воспользоваться зависимостью:

, (5.69)

где z(α^*) – квантиль нормального закона распределения; вероятность α^* находится из соотношения α^*= 2 α - 1. Уравнение (12.69) можно переписать в виде:

. (5.70)

В прил. 9 приведены значения для различных значений α^* и n. Зная ε, σ и α^* можно из этой таблицы определить неизвестное n.

Рассмотрим пример. Определить необходимое число редукторов рулевых механизмов для проведения испытания на долговечность, если известно среднеквадратическое отклонение среднего выборочного: σ = 0,30; уровень доверительной вероятности: α^* = 0,95; ошибка определения среднего: ε = 0,186.

Вычисляем . Из табл. (прил. 9) для α^* = 0,95 и находим n = 10.

Однако на практике может возникнуть ситуация связанная с недостаточностью исходных данных. Например, в силу каких – либо причин не представляется возможным определить среднеквадратическое отклонение σ. Среднее арифметическое также вычисляется по формуле (12.2), известны величины предельной ошибки ε и уровня доверительной вероятности α. Для нахождения объёма выборки (объёма испытаний) n в таком случае необходимо воспользоваться зависимостью:

, (5.71)

где D – дисперсия выборки.

В прил. 10 приведены значения для различных n и α^*. При помощи этой таблицы и уравнения (12.71) решается поставленная задача, если известна величина дисперсии. В случае, если D неизвестно, уравнение (12.71) представить в таком виде:

. (5.72)

здесь - выборочный коэффициент вариации. Если заданы параметры , δ, и α^*, то при помощи табл. (прил. 10) можно найти n.

Рассмотрим пример. Определить, сколько опытов нужно провести, чтобы с доверительной вероятностью α^*= 0,95 можно было бы утверждать, что среднее значение диаметра вала 50,02 мм не отклонится на величину δ = 0,10 мм, если ожидаемое значение выборочного коэффициента вариации = 0,20.

Из уравнения (12.72) находим: . Из табл. (прил. 10) для α^*= 0,95 и найденного значения 0,50 получаем n = 18.

Следует заметить, если запланировано n = 18, и на практике, при статистических обработке данных получилось < 0,20, то результат эксперимента удовлетворителен по точности. Если на практике получилось > 0,20, то точность такого эксперимента недостаточна и испытания следует повторить.