5.2.4 Выбор числа измерений

Объем работы при выполнении измерений в значительной мере зависит от их числа. Путем увеличения числа измерений (выборки) можно уменьшить случайную погрешность. Несмотря на введение поправок, в результатах измерений остаются неисключенные систематические погрешности. Поэтому случайную погрешность имеет смысл уменьшать только до разумных пределов, зависящих от границ неисключенной систематической погрешности.

При однократном измерении погрешность результата:

, (5.38)

где К — поправочный коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р и вида распределения суммарной погрешности; S — среднеквадратическое отклонение случайной составляющей погрешности результата; θ — граница неисключенной систематической составляющей погрешности измерения. При многократных измерениях (п ≥ 4) суммарная погрешность измерения:

. (5.39)

Т ак как значения К и К' отличаются незначительно, то, принимая К = К^’ можно оценить, как изменяется погрешность результата при увеличении числа измерений:

. (5.40)

При θ∕S = 8 γ практически не зависит от n (рис. 5.10). Следовательно, при θ∕S = 8 нет необходимости в проведении многократных измерений.

5.2.5 Проверка гипотезы о виде распределения экспериментальных данных

Практика обработки экспериментальных данных в машиностроении показывает, что наиболее часто погрешности измерений подчиняются нормальному закону распределения. Поэтому проверка гипотезы о нормальности распределения данных является составной частью обработки результатов измерений. Для такой проверки используют критерии Колмогорова, ω², χ² Пирсона.

Критерий χ² при числе экспериментальных данных п > 50 используется наиболее часто. Все данные группируют, вычисляют середины интервалов X_io, соответствующие им эмпирические частоты, определяют среднее арифметическое А и среднеквадратическое S(A). Далее определяют число данных, которые находятся в данном интервале, если их распределение соответствует предполагаемому: n_i = nhφ (z_i)/S(A). Для каждого интервала вычисляют χ²_i = (ň_i - n_i)² / n_i, где ň_i – действительное число данных в i-м интервале. Просуммировав χ²_i по всем r интервалам, получают при определённом числе степеней свободы f. Для нормального закона распределения f = r - 3. Выбрав уровень значимости q, по таблицам распределения χ² (прил.1) находят χ²_н и χ²_в. Гипотезу о соответствии экспериментальных данных нормальному закону распределения принимают, если χ²_н < χ² < χ²_в.

Рассмотрим пример. Проверить соответствие распределение данных эксперимента (табл. 38) нормальному закону. Результаты экспериментов разбиты на r = 14 интервалов. Т.к. в первом, втором и в трёх последних интервалах число данных меньше пяти, их можно соответствующим образом объединить. Тогда число интервалов будет r = 11, а число степеней свободы f = 11 – 3 = 8. Согласно расчёту, А = -0,0294, S(A) = 0,0514. Примем уровень значимости q = 0,1. По прил. 1 найдём χ²_н = 2,73 и χ²_в = 15,51 (граничные значения критерия Пирсона). Т.к. 2,73 < 7,03 < 15,5, гипотеза о нормальном распределении экспериментальных данных принимается.

Таблица 5.8

Проверка соответствия распределения экспериментальных данных нормальному закону

№	Середина интервала,	Число данных в интервале, ňi			Теоретическое число данных в интервале, ni	χ2i
1	-0,14	3 11	-0,1116	-2,17	3 ,0 9,4	0,27
2	-0,12	8	-0,0916	-1,78	6,4
3	-0,10	11	-0,0716	-1,39	13,6	0,50
4	-0,08	20	-0,0516	-1,00	18,8	0,08
5	-0,06	27	-0,0316	-0,61	26,0	0,04
6	-0,04	36	-0,0116	-0,23	30,2	1,11
7	-0,02	29	0,0084	0,16	30,8	0,10
8	0,00	18	0,0284	0,55	26,6	2,89
9	0,02	17	0,0484	0,94	19,8	0,40
10	0,04	17	0,0684	1,33	12,8	1,38
11	0,06	8	0,0884	1,72	7,0	0,14
12	0,08	4	0,1084	2,10	3 ,4
13	0,10	1 6	0,1284	2,49	1,4 5,2	0,12
14	0,10	1	0,1484	2,88	0,4
Сумма:		200	0		200,4	7,03

При числе опытов n < 10 проверить гипотезу о виде распределения экспериментальных данных невозможно. Поэтому всегда n ≥ 10. Отдельные группы данных небольшого объема, полученные в аналогичных условиях, считаются подчиняющимися распределению, вид которого был установлен при большем объеме экспериментальных данных. При 10≤n≤50 используют составной критерий, Если гипотеза о нормальности распределения данных отвергается хотя бы по одному из указанных ниже критериев, считают, что их распределение не подчиняется нормальному закону.

Критерий I. Вычисляют значение d по формуле:

, (5.41)

где S^* - смещённое среднеквадратическое отклонение результатов эксперимента:

. (5.42)

Гипотеза о нормальности распределения подтверждения, если d_1-q1/2 < d < d_1-q2/2 , где d_1-q1/2 и d_1-q2/2 – процентные точки распределения d (прил. 2).

Критерий II. Гипотеза о нормальности распределения экспериментальных данных подтверждается, если не более m разностей |x_i - A| превышают значение SzP/2, где

, (5.43)

zP/2 – верхняя P/2- процентная точка нормированной функции Лапласа; P(n,q) – доверительная вероятность, определяемая из уравнения:

. (5.44)

Значения Р для m = 1 и m = 2 приведены в прил.3. При числе данных 10≤n≤20 принимают m = 1, при 20≤n≤50 – m = 2. Если при проверке гипотезы для одних тех же данных уровни значимости критериев приняты разными (q₁ для первого и q₂ для второго), уровень значимости составного критерия не превышает их суммы (q≤ q₁+ q₂).

Пример. В эксперименте проведено 19 измерений (табл. 5.9). Проверить соответствие их результатов нормальному закону распределения. Оценка измеряемой величины (формула (5.36)):

А = 347,845/19 = 18,308

Среднеквадратические отклонения результатов измерений (формулы (5.37) и (5.42)):

; .

Оценка параметра d (формула (12.39)): .

Примем уровень значимости критерия I q₁ = 0,02. По прил. 2 найдём интерполированием d_1-q1/2 = d_0,99 = 0,686 и d_q1/2 = d_0,01 = 0,904. Т.к. 0,686 < 0,78 < 0,904, критерий I выполняется.

Применим критерий II. Выбрав q₂ = 0,05, для n = 19 по прил. 3 найдём Р = 0,98. По прил. 4 определим zP/2 = 2,33. Тогда SzP/2 = 2,415 10^-3 2,33 = 0,0056. Согласно критерию II, только одна разность |x_i - A| может превышать 0,0056. Из табл. 40 следует, что ни одно отклонение |x_i - A| не превышает 0,0056.

Следовательно, гипотеза о нормальном законе распределения экспериментальных данных подтверждается. Поскольку q= q₁+ q₂ = 0,02 + 0,05 = 0,07, гипотеза подтверждается при уровне значимости не более 0,07.

Таблица 5.9

Проверка соответствия распределения экспериментальных данных нормальному закону по составному критерию

i	xi
1	2	3	4
1	2	3	4
1	18,305	-0,003	9,0 10-6
2	18,308	0	0
3	18,311	0,003	9,0 10-6
4	18,309	0,001	1,0 10-6
5	18,304	-0,004	1,6 10-5
6	18,306	-0,002	4,0 10-6
7	18,310	0,002	4,0 10-6
8	18,303	-0,005	2,5 10-5
9	18,308	0	0
10	18,306	-0,002	4,0 10-6
11	18,312	0,004	1,6 10-5
12	18,305	-0,003	9,0 10-6
13	18,307	-0,001	1,0 10-6
14	18,308	0	0
15	18,309	0,001	1,0 10-6
16	18,308	0	0
17	18,307	-0,001	1,0 10-6
18	18,309	-0,001	1,0 10-6
19	18,310	0,002	4,0 10-6
Сумма:	347,845	0,035	1,05 10-4

Для того чтобы проверить содержать ли результаты измерений x₁, x₂, …, x_n грубую погрешность, считая, что выборка данных подчиняется нормальному распределению, вычисляют:

. (5.45)

Если z_max > z_T (теоретическое значение z_T при выбранном уровне значимости q определяется по прил. 5), то x_max следует включить как содержащее грубую погрешность. При n ≥50 , где zP/2 находят по прил. 4.

Пример. Проверить, не содержит ли x₈ из табл. 39 грубую погрешность. Вычислим:

. Примем Р = 0,95, тогда q = 0,05. По прил. 5 найдём z_T = 2,75. Т.к. z_max < z_T, то x₈ = 18,303 не содержит грубой ошибки.