5.1.6. Построение полиномиальной модели.

На практике часто требуется определить функциональную зависимость между переменными х и у по совокупности экспериментальных значений х_i и у_i. Для нахождения данной зависимости используют метод наименьших квадратов. Суть метода заключается в определении параметров искомой функциональной зависимости таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных значений у_i от соответствующих значений, вычисленных по аппроксимационной зависимости φ (х_i, а_i), была минимальной:

(5.27)

где n – число точек исходной информации с координатами (х_i, у_i); а_j (j = 1,2,…,m) – параметры модели. Для определения значений а₁, а₂,...a_m соответствующих минимуму функции (12.27), приравнивают нулю частные производные этой функции по каждому параметру а_j и получают систему уравнений:

(5.28)

где - частные производные φ по а_j при фиксированном х_i. Рассмотрим данный метод на примере аппроксимации полиномом второй степени (т = 3), когда функция φ задана в виде квадратичной параболы: y_i = a₁+a₂x_i+a₃x_i². Выражение (5.27) в этом случае принимает вид:

(5.29)

Приравняв нулю частную производную выражения (5.29) по a₁, получим:

(5.30)

Данное выражение можно переписать в виде: . Из условия равенства нулю частных производных φ по a₂ и a₃ получаем ещё два уравнения. Таким образом, задача определения искомой функциональной зависимости трёх линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными:

(5.31)

Особенность полученных уравнений состоит в том, что показатель степени при х_i для всех членов в уравнении равен сумме номера строки и номера столбца матрицы коэффициентов уравнений минус 2. Линейные алгебраические уравнения (5.31) называются нормальными. При аппроксимации результатов эксперимента функциональной зависимостью в виде полинома т-й степени система нормальных уравнений принимает вид:

(5.32)

Как видно, получаем систему т+1 уравнений с т+1 неизвестными a₁, a₂, …, a_т+1. Решение данной системы уравнений позволяет завершить построение полиномиальной модели.

5.1.7. Метод рационального планирования эксперимента

По плану 2^п можно построить математическую модель изучаемого процесса с учетом лишь линейных эффектов и взаимодействий факторов, проведя N = 2ⁿ опытов. Когда такой план не позволяет получить адекватную регрессионную модель или если заранее известно, что объект исследования имеет существенно нелинейные свойства, применяют планы более высоких порядков. В сравнении с планами первого порядка такие планы эксперимента более сложные, (больше число точек в матрице плана и уровней каждого фактора), требуют для своей реализаций проведения большего количества опытов. Уже для построения квадратичной модели (модели второго порядка) надо иметь план, в котором число уровней каждого фактора было бы не менее трех. С увеличением числа, уровней факторов возрастает количество опытов. Так, например, для анализа влияния четырех факте ров, для каждого из которых исследуется пять уровней, потребуется выполнить 5⁴ = 625 опытов (не считая повторений опытов в идентичных условиях для получения устойчивых средних значений отклика). Проведение такого количества опытов требует больших затрат времени и материальных ресурсов. Эффективным средством, позволяющим при минимальном числе опытов наиболее равномерно охватить всю поверхность факторного пространства и получить достоверную математическую модель объекта исследования, является метод рационального плакирования эксперимента. Его построение по указанному методу производят следующим образом.

Н а рис. 5.5 изображен один из возможных планов четырехфакторного эксперимента при пяти уровнях каждого из факторов. Большой комбинационный квадрат состоит из 5² = 25 средних квадратов, каждый из которых в свою очередь тоже разбит на 5² = 25 малых квадратов, Таким образом, всего имеется 5⁴ = 625 клеток (точек плана), как к в плане типа 5⁴. Номер столбцов средних квадратов соответствует номеру уровня фактора X_l а номер строк — номеру уровня фактора Х₃. Из 25 возможных сочетаний уровней факторов Х₂ и Х₄ в каждом из средних квадратов выбираем только один (заштрихованная клетка). Нетрудно убедиться, что при каждом уровне одного из факторов (например, X_l = 1) все уровни прочих факторов встречаются часто. Так, Х₂ = 3,4,5,2,1; Х₃ = 1,2, 3,4,5 и Х₄ = 1,2,3,5,4. Поэтому при получении результатов для X_l = 1 влияние трёх других факторов усреднится и результат соответствовать Х_{2 ср} = 3, Х_{3 ср} = 3, Х_{4 ср} = 3. В приведённой схеме такое усреднение может быть проведено для любого уровня каждого из факторов. Производя такое усреднение при каждом из уровней фактора Х₁ можно найти зависимость результата только от этого фактора при нейтрализации влияния остальных трех факторов. Аналогично можно выявить влияние только фактора Х₂ при нейтрализации влияния факторов Х₁, Х₃, X₄ и т.д. Меняя порядок усреднения, можно по результатам 25 опытов оценить влияние всех четырех первичных факторов. Таким образом, данный метод планирования эксперимента позволяет заменить полнофакторный план, включающий 625 опытов, экспериментом из всего лишь 25 опытов со специально подобранными условиями, т. е. сократить объем эксперимента в 25 раз.

Р ассмотрим теперь метод рационального планирования эксперимента более подробно. Поместим рядом с большим комбинационным квадратом (рис. 5.6., а) отдельный средний квадрат в окружении таких же средних квадратов, примыкающих к нему крест-накрест (рис. 5.6., б). Пронумеруем в среднем

а – большой комбинационный квадрат	б – средние комбинационные квадраты и определяющий ромб
Рис. 5.6. построение комбинационного квадрата

квадрате все клетки цифрами от 1 до 9. Затем отметим клетки определящего ромба, как показано на рисунке. Перенесем клетки, пронизанные стрелкой Л, в аналогичные им клетки первой строки справа налево в большой квадрат; клетки, отмеченные стрелкой В, - во вторую строку большого квадрата, а отмеченные стрелкой С - в третью строку. Получаем расположение всех девяти клеток в большом комбинационном квадрате, причем все клетки имеют различные номера, т.е, соответствуют разным сочетаниям уровней факторов. В каждой строке и каждом столбце находится только одна нумерованная клетка; в каждом ряду или в каждой строке средних квадратов встречаются все три варианта строк и столбцов из клеток. Полученный комбинационный квадрат обладает одним недостатком. Для некоторых его частей наблюдается монотонное изменение уровней нескольких факторов одновременно. Так, например, для клеток 1, 5, 9 при постоянном уровне фактора Х₁ = 2 уровни факторов Х₂, Х₃ и X₄ монотонно возрастают в порядке 1, 2, 3.

Точно так же для клеток 3, 5, 7 при постоянном уровне фактора Х₃ = 2 уровни факторов Х₁ и Х₂ убывают по закону 3, 2, 1, а уровни фактора Х₄ столь же монотонно возрастают в порядке 1, 2, 3, Это ведет к зависимости изменения уровней факторов, что не позволяет в окончательных эмпирических выражениях выделить их влияние друг на друга. Можно учесть только их совокупное влияние на окончательный результат, что нежелательно. Для устранения этого недостатка полученный комбинационный квадрат можно трансформировать путем перестановки его столбцов и строк. Так, если поменять местами второй и третий столбцы (рис. 5.7, а), а затем первую и вторую строки большого комбинационного квадрата, можно получить новый комбинационный квадрат (рис. 5.7, б). Аналогичными приемами могут быть построены комбинационные квадраты для других уровней каждого из четырех факторов, однако практически в этом нет необходимости. Определяющий ромб плана четырехфакторного эксперимента при пяти уровнях факторов изображен на рис. 5.8.

Е сли необходимо исследовать одновременно влияние на отклик не четырех, а большего числа факторов, можно применить следующий прием, В одной из полученных для четырех факторов схем каждую из выбранных 25 клеток нужно разбить на 25 более мелких клеток и выбрать среди них только по одной. Причем следует взять одну из возможных схем для четырехфакторного комплекса, но только не ту, которая уже использована в дан ном построении, так как в этом случае нельзя будет выделить влияние новых факторов. Так, например, на рис. 5.9 можно выбрать более мелкие клетки согласно рис. 12.5. На рис. 5.9 в квадрате (Х₁= 1; Х₃ =1) выбрана клетка (Х₂ =4; Х₄ = 3). В этой клетке (см. рис. 12.5) при Х₁= 1; Х₃ =1 уровни других факторов Х₅ = 3, Х₆ = 1. В квадрате (Х₁= 2; Х₃ =1) выбрана клетка (Х₂ = 1; Х₄ = 2). В ней, согласно рис. 10.5, выбраны уровни других факторов (Х₅ = 5, Х₆ = 4). При таком способе построения ни в одной строке и ни в одном столбце не будут повторяться одинаковые факторы, а при усреднении любого из них будут встречаться все уровни других факторов.

Таким образом, комбинационный квадрат для шести факторов, каждый из которых имеет пять уровней, что дает 5⁶ = 15625 комбинаций, заменен всего лишь 25 комбинациями, т.е. число необходимых опытов сокращено в 625 раз.

Указанный выше прием может быть распространен и на случай с большим числом факторов. Так, например, для восьмифакторного комплекса нужно будет в каждой из выбранных на рис. 12.9 мелких клеток разместить по 25 еще более мелких клеток и взять из них только по одной, пользуясь новым вариантом четырехфакторной схемы (см. рис. 5.5). Если же понадобится схема для трех или пяти факторов, можно использовать соответственно схемы для четырех или шести факторов и принять уровень одного из них постоянным.