5.2.6 Обработка результатов прямых измерений

Общие положения. Получаемая по экспериментальным данным оценка измеряемой величины считается наилучшей, если она несмещенная, состоятельная и эффективная. Оценка будет состоятельной, если с увеличением числа измерений она приближается к истинному значению измеряемой величины. При несмещенной оценке ее математическое ожидание равно значению измеряемой величины. Оценка называется эффективной, если ее среднеквадратическое отклонение меньше среднеквадратического отклонения любой другой оценки той же величины. Для результатов, имеющих нормальное распределение, наилучшей оценкой измеряемой величины является среднее арифметическое, а наилучшей оценкой случайной погрешности — среднеквадратическое отклонение. Основные требования к обработке результатов прямых многократных измерений для получения оценки измерения стандартизованы.

Обработка нормально распределенных данных. При прямых измерениях за значение измеряемой величины А, принимают среднеарифметическое исправленных экспериментальных данных А, а в качестве характеристики случайного рассеивания экспериментальных данных — S(А), вычисленные по формулам (12.34) и (12.35). СКО среднего арифметического результата измерения А, вычисленное по ограниченному числу экспериментальных данных:

, (5.46)

или .

Интервал, в котором с заданной (доверительной) вероятностью находится истинное значение измеряемой величины, называется доверительным. При нормальном законе распределения данных истинное значение величины А с доверительной вероятностью находится в интервале , где t – q-процентная точка распределения Стьюдента.

Значение tS(А) - доверительная граница случайной погрешности результата измерения ε(Р), или доверительная случайная погрешность: ε(Р) = tS(А).

Пример. Найдём доверительный интервал для данных, приведенных в табл. 5.10. Примем доверительную вероятность Р = 0,95. Имеем А = 18,308; = 2,415 10^-3/√19 = 5,54 10^-4;n = 19; f =19-1 = 18.

По прил. 6 для f = 18 и Р = 0,95 находим t =2,10. Доверительная граница случайной погрешности ε(Р) =2,10 5,54 10^-4= 1,16 10^-3. Истинное значение измеряемой величины находится в интервале [18,3068, 18,3092] Результат измерения может быть записан в виде 18,308 ± 0,001, Р = 0,95.

О ценка неисключенных систематических погрешностей результатов связана с построением композиции их составляющих. В связи с большими трудностями построения этой композиции, полагая равномерность распределения неисключенных систематических погрешностей внутри заданных границ θ, для нахождения доверительной границы неисключенной систематической погрешности θ(Р) используют формулу:

, (5.47)

где k — коэффициент, соответствующий выбранной доверительной вероятности Р, зависящий от числа составляющих неисключенной систематической погрешности и их соотношения; θ_j - граница i-й неисключенной систематической погрешности. При доверительной вероятности Р = 0,90 и Р = 0,95 значения k малочувствительны к изменению числа неисключенных систематических составляющих погрешностей. При P = 0,90 принимают k = 0,95, а при Р = 0,95 – k = 1,1. Если Р = 0,99, k = 1,49 для m > 5. Если m ≤ 5, для нахождения значений k используют график (рис. 12.11) зависимости k = k(m, l), где т — число суммируемых неисключенных составляющих систематической погрешности; l — параметр, зависящий от соотношения границ этих составляющих. При определении k границы θ_j располагают в порядке их возрастания и вычисляют отношения границ l₁ = θ₂ /θ₁; l₂ = θ_m/θ_m-1. Найдя по графику значения k₁ = k(l₁, m) и k₂=k(l₂, m), в качестве поправочного коэффициента k принимают наибольшее из них. Если неисключенные систематические погрешности по сравнению со случайными малы (θ/S(A) < 0,8), погрешность результатов измерений может характеризоваться только доверительными границами случайной погрешности. Если пренебрежимо малы случайные погрешности (θ/S(A) > 8), результаты измерений характеризуются неисключенными систематическими погрешностями. При 0,8 ≤ θ/S(A) ≤ 8 результат содержит как случайные, так и неисключенные систематические погрешности. Для расчета доверительной погрешности: используется зависимость:

, (5.48)

или

, (5.49)

где , (5.50)

а в квадратных скобках - арифметическая сумма границ случайной и не-исключенной систематической погрешностей.

Пример. Статистической обработкой результатов измерений получено: А = 1,95; S(А) = 0,05;θ = 0,03; n =20. Найти погрешность измерений с заданной вероятностью Р=0,95.

Так как θ/S(A) =0,03/0,05 = 0,6 < 0,8, результат измерения может быть представлен в виде А = 1,95; S(А) = 0,05; n = 20. Доверительную границу случайной погрешности результата ε(Р) вычислим следующим образом. При Р = 0,95 по прил. 6 найдем t = 2,09. Тогда ε(P)=tS(A) ≈ 0,1. Это означает, что с вероятностью 0,95 истинное значение измеренной величины находится в доверительном интервале [1,95 - 0,1; 1,95 + 0,1]. Допустим, что граница неисключенных систематических погрешностей больше, например θ = 0,18. Запись результата измерений будет иной: A = 1,95; θ = 0,18; S (А) = 0,05; n =20, поскольку θ/S(A) = 0,18 / 0,05 = 3,6 > 0,8. При Р = 0,95 коэффициент Стьюдента t = 2,09, поэтому ε(Р) = tS(А) = 0,1. Так как θ/S(A) = 3,6, значение Δ(Р) необходимо вычислять. Для этого найдем по формуле (5.50) а затем Δ(Р)по формуле (12.47): ΔР = 0,749 (0,18 + 0,1) = 0,21.

На основании изложенного результат измерений можно представить в форме: A = 1,95; Δ(Р) = 0,21; Р = 0,95; n = 20.

Обработка результатов прямых однократных измерений. Перед проведением прямого однократного измерения проверяют исправность средств измерений, их метрологические характеристики, оценивают погрешность метода измерения, погрешность оператора. Возможность однократного измерения реализуется в случае незначительных случайных погрешностей измерений (они малы по сравнению с неисключенными систематическими погрешностями). При существенных случайных погрешностях их доверительная граница не должна превышать границ заданной погрешности результата измерения. В противном случае выбирают более точное средство измерений. Во избежание промахов иногда проводят два-три измерения. За окончательный результат принимают среднее арифметическое результатов, полученных в этих измерениях.

Погрешности средств измерений, метода и оператора могут включать не-исключенные систематические и случайные составляющие, Неисключенные систематические погрешности задают границами ±θ или доверительными границами ±θ(Р), случайные погрешности—среднеквадратическим отклонением S или доверительными границами ± ε(Р). Если неисключенная систематическая погрешность результата связана только с методом измерений, эту погрешность определяют ее границами. При наличии нескольких неисключенных систематических погрешностей с границами θj доверительную границу результата измерений вычисляют по формуле:

. (5.51)

В случае отсутствия информации о значениях θj(Р) коэффициент k может быть принят равным 0,95 при Р = 0,90, 1,1 при Р = 0.95 и 1,4 при Р = 0,99.

Доверительные границы случайной погрешности результата измерений:

, (5.52)

где — СКО результата измерений: S_i — СКО результата измерений, обусловленное i-м фактором (погрешностью средства измерений, метода, оператора); z_р/2 — Р/2-процентная точка нормированной функции Лапласа.

Если случайные погрешности представлены доверительными границами, соответствующими разным доверительным вероятностям, сначала определяют СКО результата измерения по формуле:

, (5.53)

а затем вычисляют доверительные границы случайной погрешности результата измерений.