13 Вопрос
Скалярное произведение векторов.
- Скалярным произведение двух векторов называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение считают равным 0
Скалярное
произведение
обозначается в виде:
Очевидны след. свойства операции скалярного умножения для любых векторов
Скалярное умножение коммутативно
для любого вектора
Скалярное произведение равно 0 тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен 0
Векторы ортонормированного базиса удовлетворяют соотношениям
Утверждение
4:
Если базисные вектора
ортогональны, то компоненты любого
вектора
находятся
по формулам
В частности, если базис ортонормированный, то
Доказательство: пусть
, где
,
,
Нам
видно из рис.
где
-
угол между
и
,
с другой стороны
и из определения умножения вектора на
число =>
=>
,
где значения
выбираются в зависимости от того,
одинаково или противоположно направления
векторы
и
.
Таким образом
Аналогично
выражаются остальные компоненты .
Утверждение
4:
Для любых векторов
и
любых чисел
выполняется равенство (дистрибутивность,
линейность).
Доказательство:
если
,то
утверждение очевидно . Пусть
,примем
за первый вектор базиса и выберем
остальные ортогональные к нему и между
собой базисным векторов. Выражение
согласно
утверждению 4 первые компоненты вектора
, точно также
и
-
первые компоненты векторов
так
как при умножении вектора на число ,
компоненты умножаются на число , а при
сложении векторов складываются
соответствующие комноненты.
Имеет место равенство
=
+
Отсюда прямо вытекает требуемое равенство.
Векторное произведение.
Определение: Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной , если из конца третьего вектора кротчайший поворот о первого ко второму будет против часовой стрелки в противнои случае тройка называется левоориентированной .
Определение:
Векторным произведением векторов
называется вектор
,удовлетворяющий следующим условиям:
1)
,
где
- угол между векторами
.
2)вектор c ортоганален к векторам а и b.
3)вектора a,b,c образуют новую тройку векторов.
Векторное произведение образуется в виде [a,b].Если один из сомножителей равен 0,то векторное произведение есть нулевой вектор.
Пример: Пусть
правый ортогорированный вектор.
Утверрждение
7: Векторное
умножение антикоммутативно,т.е
Доказательство: Изменив порядок сомножителей, меняем ориентацию тройки векторов и изменяя величины векторов.
Смешанные произведения векторов.
Определение: число (a[b,c]) называется смешанным произведением векторов a,b,c и обозначается [a,b,c].
Утверждение 8: Смешанное произведение некомпланарных векторов a,b,c ,по модулю равно объёму параллепипеда, построенного на сомножителях, оно положительно если тройка векторов a,b,c-правая, и отрицательно, если оно левая.
Объём
парараллепипеда, построенного на
векторах a,b,c
равен произведению площади и
основания(
),умноженного
на высоту(
),
поэтому, V=
Если
ортогонален правому базису, то (
)=1
Утверждение 9: Смежное произведение равно 0,тогда итолько тогда когда сомножители компланарны.
Утверждение 10: Смежное произведение левой тройки векторов a,b,c удовлетворяет свойству линейности.
+
+
+М
)+М
Доказательство:Сравнивая
ориентации трех векторов, получим:
=
-
-
-
Применим
линейность скалярного произведения к
выражению:
=
+М
Из равенства (*) следует аналитическое тождество, для остальных сомножителей.
Утверждение
11: Линейность
векторной производной. Для местных
векторов а,b,c
и некоторых чисел
,имеет
место равенство:
=
Доказательство: Для доказательства воспользуемся линейностью смешанного произведения по второму сомножителю:
=
-
это равенство имеет место при всех а.
Выберем ортогонированный базис
и
.Подставим
вместо а, последовательно каждый вектор
базиса, в силу утверждений 1,2.3 получим
равенство всех компонентов векторов
и
,отсюда
,требуемое равенство векторов.
Двойное векторное произведение
Определение:
Выражение
называется двойным векторным произведением
вектором произведением векторов
.
Для двойного векторного произведения
справедлива следующая формула:
