3 Вопрос

Определитель n-го порядка.

Определитель 2 и 3 порядка вычисляется по следующим формулам.

Для того чтобы обобщить понятия определителей 2 и 3 – го порядка на случай определителя n – го порядка рассмотрим вспомогательную задачу .

Свойства определителя.

Определение: При образовании матрицы, при которой её строки становятся столбцами,с теми же номерами,называется транспонированием матрицы

Свойство1: Определитель не меняется при транспонировании.

Д оказательство: Пусть слагаемые входят в состав определителя А.Это же слагаемое будет входить в состав определителя ,в определителе А знак слагаемого определяется подстановкой,а в определителе -подстановкой. Видим, что обе подстановки обладают одинаковым числом инверсий, следовательно, определители матрицы и матрицы состоят из одних и тех же слагаемых, взятых с одинаковыми знаками.

Из первого свойства вытекает, что всякое утверждение о строках определителя годится и для его столбцов.

Свойство2: Если определитель содержит нулевую строку, то он равен нулю.

Доказательство: в каждом слагаемом определителя будет присутствовать множитель из нулевой строки, следовательно, все слагаемые равны нулю, и определитель равен нулю.

Свойство3: Если в определители поменять местами две строки, то определитель сменит знак.

Д оказательство: пусть в определителе n-го порядка, меняются местами i и j строки. Слагаемые исходного определителя вида (4) имеет знак определяемый подстановкой (4), , поменяв местами i и j строки получим тоже слагаемое, знак которого будет определяться подстановкой , видим, что выполненные подстановки имеют противоположенную чётность, следовательно, заменив местами i и j строки, сменим знаки у всех слагаемых, в результате чего определитель сменит знак.

Свойство4: Если определитель содержит две одинаковые строки, то он равен нулю.

Доказательство: пусть определитель равен d, поменяв местами одинаковые строки,получим определитель -d, так как меняем одинаковые строки, то на самом деле определитель не должен измениться d=-d 2d=0 d=0.

Свойство5: Если все элементы некоторой строки определителя умножить на число k, то сам определитель умножится на число k.

Доказательство: пусть на k умножатся все элементы i-ой строки, так как в каждом слагаемом присутствует множитель из i-ой строки, то при умножении i-ой строки на число k, то каждое слагаемое приобретёт множитель k следовательно весь определитель умножится на k.

Свойство6: Если в определители нет пропорциональной строки, то определитель равен нулю

.Доказательство: доказательство вытекает из 5 и 4 свойств определителя.

Свойство7: Если в определители элементы i-ой строки представляют собой сумму двух чисел, то определитель равен сумме двух определителей, все элементы которых кроме элементов i-ой строки такие элементы , как и в исходном определителе, а элементы i-строки в первом определителе состоят из 1-ых слагаемых, а во втором определителе из вторых слагаемых

(1)

Доказательство: Рассмотрим произвольное слагаемое определителя

Используя представление (1), выписанное слагаемое, можем записать в виде:

Воспользовавшись дистрибьютивностью,

получим слагаемые:

Применив эту операцию к каждому слагаемому определителя и ,сгруппировав отдельно 1 и 2-ое слагаемое, получим сумму двух определителей, указанных в свойствах.

Свойство8: Если одна из строк определителя равна линейной комбинации остальных строк, то определитель равен 0.

Доказательство выражается из 7 и 6 свойств.

Свойство9: Определитель не изменится, если к элементам его строки прибавить соответствующие элементы его другой строки, умноженное на некоторое число.

Доказательство выражается из 7 и 8 свойств.

Определение: Минором k-того порядка называется определитель k-того порядка, получаемый из определителя порядка n(n>k) вычеркиваем (n-k) строк и (n-k) столбцов.

Определение: Дополнительным минором к заданному минору k-того порядка называется определитель порядка (n-k), получаемый из определителя порядка n, вычеркиваем k-строк и k-столбцов, в которых расположен исходный минор.

Пусть M некоторый минор k-того порядка, M`-его дополнительный минор.

Определение: Алгебраическим дополнением к минору M называется A=(-1)^SM`(выражение), где S- сумма номеров строк и номеров столбцов, в которых расположен минор M.

Теорема: Произведение минора М на его алгебраическое дополнения состоит из слагаемых, которые являются слагаемыми в исходном определителе n-го порядка с теми же самыми знаками.

Разложение определителя по строке (столбцу).

Теорема: Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраическое дополнения.

Пример: Вычислить определитель.

Разложим этот определитель по второй строке.

Разложим этот определитель по третьему столбцу.

На практике для вычислении определителя предварительно его упрощают, используя свойство определителя.

Согласно девятому свойству определитель не изменится, если к элементам столбца добавить элемент другого столбца, умноженный на k.

Обобщение теоремы о разложении определителя по строке (столбцу). Теорема Лапласа.

Пусть в определителе d выбрано k строк (столбцов), где , тогда произведений всех миноров, располагаемых в k-строках (столбцах) но их алгебраические дополнения равны определителю d.

= (Разложим этот определитель по 1 и 3 столбцам.)

=