33 Вопрос

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение: функция называется бесконечной малой в точке a ,если . Если функция имеет , то является бесконечно малой в точке a функции.

Таким образом , если имеет в точке a предел b, то её можно представить в виде , где бесконечно малая в точке a функция .

Определение: Функция A(x) называется бесконечно большой в точке a справа(слева) функции если для любых сходящихся к a последовательности , значение аргумента, все элементы которых больше(меньше) a, соответствующим последовательности значений функции является бесконечно большой последовательностью, все элементы которые начиная с некоторого номера либо положительны либо отрицательны.

,

Сравнение бесконечно малых последовательностей

1. Если 2-е бесконечно малые функции в точке а, то функция является бесконечно малой, или высокого порядка малости, или .в этом случае

2. 2-е бесконечно малые функции в точке а,называются бесконечно малыми одного порядка малости, если предел в точке а:

3. 2-е бесконечно малые функции в точке а, называются эквивалентными если

35 Вопрос

Понятие производной.

Определение: Производная функции в данной фиксированной точке х, называется предел разностного отношения (2) при , при условии, что этот предел существует.

Производную принято обозначать:

Если производная существует в каждой точке интервала (a,b), то её можно рассматривать как некоторую функцию аргумента х, определенного на интервале (a,b).

Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции , определённый на интервале (a,b)

Рассмотрим некоторую точку , которая принадлежит интервалу (a,b), точку графика с абсциссой , обозначим через М, дадим значению приращение , так чтобы величина ( + ) (a,b). Точка графика функции, абсцисса которой равна + , обозначим через Р.

Координаты точки М , Р .

Из графика функции видим, что приращение функции отвечающее приращению в точке , равно величине отрезка PN, , проведем через точки N и P прямую, построенная прямая называется секущей графика функции. Изменяя положение точки Р будем получать разные секущие, определяемые величиной приращения аргумента . При этом угол секущей с осью Х будет являться функцией от приращения аргумента .

Определение: Если существует предельное положение секущей MP при стремлении точки Р к точке М, называется касательной прямой, при условии что она существует.

Видим, что для существующей касательной нужно потребовать, что бы существовал предел . Покажем, что у функции существует касательная в точке , если у неё существует производная в этой точке. Из видим, что

Таким образом, получаем

Вычислим пределы от левой правой частей.

Если функция y=f(x) имеет производную в точке , то предел от правой части существует и равен , тогда существует и левый предел при в силу непрерывности тангенса.

Так как функция тангенса монотонно возрастает и непрерывна, то для неё существует обратная непрерывная функция

Таким образом, показали, что если функция y=f(x) имеет производную в точке , то она имеет в этой точке и касательную, причём угловой коэффициент равен: ,тогда уравнение касательной в точке имеет вид:

Механический смысл производной.

П усть функция y=f(x) описывает прямолинейное движение материальной точки. Аргумент функции x выступает в качестве времени. При этих условиях определяет среднюю скорость за промежуток времени . С уменьшением промежутка ,величина лучше описывает характеристику движения материальной точки при прямолинейном движении. Предел разности отношений при в этом случае называется скоростью движения материальной точки в некоторый момент времени x при прямолинейном её движении.