19 Вопрос
Однополостный гиперболоид
Определение:
Однополостный гиперболоид вращения
это поверхность вращения гиперболы:
.
(7)
Из уравнения (7) видим , что ось z является мнимой осью гиперболы .Вращая гиперболу (7) вокруг оси z , согласно уравнению (1) получим поверхность уравнение которого будет иметь вид:
Сжав точки однополостного гиперболоида вращения к плоскости y=0 , получим поверхность уравнение которой будет иметь вид
(8)
Определение: Поверхность, определяемая уравнением (8) называется однополостным гиперболоидом.
С однополостным гиперболоидом связаны замечательные прямые , называемые образующими . Все точки образующей прямой лежат на поверхности однополостного гиперболоида .Через каждую точку однополостного гиперболоида проходит пара пересекающихся образующих .Уравнения образующих прямых можно получить выполнив следующие преобразования уравнением (8).
Перенесём в уравнение (8)переменную у, в правую часть ,в результате получим:
Используя формулу разности квадратов, последнее уравнение получается в виде:
(9)
Исходя из представлений (9),можем записать уравнение прямой, определяемое двумя пересекающимися плоскостями.
Каждая точка
удовлетворяющая системе (10),удовлетворяет
выражению (10), и следовательно, лежит
на одной гиперболе. Вторую можно задать
плоскостями, выбрав другую комбинацию
строк:
(11)
Чтобы
найти уравнение образующей прямой
необходимо подставить координаты точек
однополосной гиперболы в систему (10)
или (11),и определить пару (М;
,
определённую с точностью до множителя.
Если вместе с гиперболой вращать его
асимптоты, то получим поверхность
конуса, называемым асимптотическим
конусом вращения. После сжатия
однополосного гиперболоида вращения,
асимптотический конус вращения
превращается в асимптотический конус.
Двуполостный гиперболоид
Будем вращать гиперболу относительно действительной оси:
Т
огда
уравнение поверхности вращения будет
иметь вид:
П
оверхность
движения гиперболы вращения распадается
на две непересекающиеся части. Сжав
поверхность вращения гиперболы к
плоскости y=0,получим
поверхность, уравнение которой имеет
вид:
,и
называется двуполостной гиперболой.
Так же как и для однополосной гиперболы, для двуполостной гиперболы вводится понятие ассиметричная гипербола