20 Вопрос

Эллиптический параболоид

Рассмотрим поверхность, получаемую при вращении параболы вокруг её оси симметрии. Уравнение параболы возьмём в виде: , в этом случае ось симметрии совпадает с осью z, в этом случае поверхность вращения будет иметь вид: Сделав точки параболоида вращения в плоскость Y=0, получим поверхность уравнение которой имеет вид: . Соответственно поверхность называется эллиптическим параболоидом. Сечения этой поверхности x=const,(y=const)-будут являться параболами сечения плоскостями. z=const будут являться эллипсами.

Г иперболический параболоид

Определение: Поверхность, которая имеет в некоторой декартовой системе координат уравнение , называется гиперболическим параболоидом.

Сечение гиперболического параболоида x=const,(y=const), будут определять параболы сечения гиперболического параболоида, сечение z=const будут определять гиперболы. Поверхность гиперболического параболоида можно определить, заставив одну параболу двигаться по другой параболе, оси которых параллельны, а ветви направлены в противоположенные стороны.

Как и у однополостного, у гиперболического параболоида существуют две системы. Разложив левую часть системы (*) на множители, получим: .

И можно записать две системы в виде:

и

21 Вопрос

Определение: Числа, представленные в виде десятичных дробей, принято называть действительными(вещественными) числами.

Определение: Множество вещественных чисел {х} называется ограниченным сверху(снизу), если существуют такие вещественные числа что для всех элементов множества х будет выполняться неравенство . При этом числа называют верхней (нижней) гранью множества.

О пределение: Наименьшая из всех верхних граней, ограниченного сверху множества х, называют точной верхней гранью этого множества и обозначают в виде

Supremum – наивысшее

Н аибольшая из всех нижних граней, ограниченного снизу множества х, называют точкой нижней грани и обозначают в виде:

Infimum – наинизшее

Теорема: Если множество вещественных чисел R содержит хотя бы один элемент и ограничено сверху(снизу), то у этого множества существует точки верхней(нижней) грань.

Определение: Интервал, где q>0 называется эпсилон-окресностью точки а.(q принимать за ε)

Абсолютная величина u ее свойства

Абсолютной величиной а, называют:

Свойство 1: если w>0 то неравенство равносильно двум неравенствам

Доказательство. Пусть тогда раскрыв величину модулей получим

С другой стороны число , .

Пусть, а<0 то , С другой стороны, а<0 w>0 а<w

Докажем это утверждение в другую сторону. Пусть а удовлетворяет неравенству , =>

Из двух чисел и – будет положительным, будет совпадать с модулем.

С помощью первого свойства удобно задать окрестность т. , принадлежит окрестности , если выполняется неравенство

Используя первое свойство

; ;

Свойство 2: Модуль суммы сумме модулей

Для доказательства 2 свойства запишем очевидные неравенства

Складывая почленно выписанные неравенства

-

Согласно первому свойству, последние неравенство переписываем в виде

Свойство 3: Заменив во втором свойстве на -

Свойство 4

Для доказательства свойства 4 представим

Рассмотрим модули от левой и правой части

+

Согласно свойству 3

Заменив в свойстве 4 на - получим