23 Вопрос

Сходящиеся последовательности .

Определение1: Последовательность называется сходящейся, если существует такое вещественное число a , то является бесконечно малой последовательностью при этом число a называется пределом последовательности и обозначается

Определение2: последовательность называется сходящейся к вещественному числу a , если для любого числа ε найдется номер N , такое что для вех n≥N будет выполнятся неравенство (1).

Определение3: Последовательность называется сходящейся, если существует такое число а, что в любой ε- окрестности точки a находятся все элементы последовательности , начиная с некоторого номера.

Теорема 1: Сходящейся последовательность имеет только один предел.

Доказательство: предположим противное сходящейся последовательность имеет два предела a и b , тогда элементы последовательности наряду с представлением (3) можно записать в виде

Прировняем наши представления

В правой части последнего неравенства стоит разность бесконечно малой последовательности следовательно бесконечно малая последовательность.

В левой части стоит некоторое постоянное число . Согласно теореме о бесконечно малой последовательности , если бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов , то этот элемент равен нулю . Таким образом заключаем , что a-b=0 следовательно что сходящееся последовательность имеет один предел.

Теорема2: Всякая сходящая последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть сходится к числу а. Фиксируем положительное число ,по заданному находим N, таким, что для всех ,будет выполнятся неравенство: .Запишем неравенство в виде: .Обозначим через А максимальное из чисел.

А=max

Тогда, все элементы последовательности ,будут удовлетворять условию неравенства ,следовательно последовательность ограничена.

Теорема 3.Сумма сходящихся последовательностей является сходящейся последовательностью, предел которой равен сумме последовательностей .

)=

Д оказательство: Т.к. последовательность сходятся, то элементы этих последовательностей, можно представить в виде: тогда .Это равенство можно представить в виде: .В правой части последнего выражения стоит бесконечно малая последовательность.

Согласно первому определению сходящейся последовательности ,сходится и их предел .

)=

Теорема 4: Разность двух сходящихся последовательностей представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей и .

)=

Теорема 5: Произведение сходящихся последовательностей и представляют собой сходящуюся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и .

)= .

П усть последовательности сходятся к числам a и b,тогда элементы этих последовательностей, можно представить в виде: .

Э лемент произведения последовательностей =В правой части бесконечно малая последовательность. Заключаем, что является пределом последовательностей.

Теорема 6: Частное двух сходящихся последовательностей и , предел второй из которых отличен от нуля, определена с некоторого номера. Представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и ,

Покажем, что частное двух последовательностей определена с некоторого номера для этого нужно доказать, что будет выполняться неравенство .

Последовательность сходится к числу b, возьмём в качестве , число . Для этой величины найдётся номер , такой что для всех , будет выполняться неравенство (*).

Представим число b в виде

Учитывая соотношение (*)

Таким образом получаем, что , для номеров .

Доказывая отличие от нуля знаменателя дроби, одновременно докажем, что последовательность -ограничена, так как используя найденные неравенства можно записать ; таким образом начиная с номера N*, можно рассматривать частные последовательности

Воспользуемся очевидным тождеством

(сходится к числу а)

Возьмём в записанном тождестве p=a, q=b, получим:

Теорема будет доказана, если в правой части будет находиться бесконечно малая последовательность, используя элементы , числитель правой части можно представить в виде , таким образом правую часть можно представить в виде: , получилась бесконечно малая последовательность в скобках.

Последовательность -является ограниченной, произведение ограниченной и бесконечно малой, даёт бесконечно малую последовательность.

Теорема 7:Если все элементы сходящейся последовательности , по крайней мере, начиная с некоторого номера, удовлетворяет неравенству , то предел х этой последовательности удовлетворяет этому же неравенству, .

Доказательство: пусть все элементы последовательности начиная с номера , удовлетворяет неравенству , обозначим предел последовательности , через X, получим: . Предположим противное x<b, возьмём в качестве положительную величину =b-x, тогда для заданной величины найдётся номер , такой что для всех , выполняется неравенство , возьмём в качестве , тогда для всех , должно выполняться неравенство , или , правая часть последовательности неравенства, равносильна неравенству, в системе эти неравенства не могут выполняться, получим противоречие.

Первая часть доказана, вторая часть доказывается аналогично.

. Если последовательности и сходятся, и начиная с некоторого номера выполняется неравенство , то и пределы этих последовательностей удовлетворяют такому же неравенству: .

Д оказательство: согласно условию теоремы, начиная с первого номера Для этого нужно доказать, что будет выполняться неравенство .

Последовательность сходится к числу b, возьмём в качестве , число . Для этой величины найдётся номер , такой что для всех , будет выполняться неравенство

По теореме 7 переходя к пределу, получим:

Согласно теореме 4 предел разности равен разности пределов:

Это доказывает следствие

. Если все элементы сходящейся последовательности {X_n}, начиная хотя бы с первого номера, принадлежат отрезку [a,b] ,то и предел также принадлежит [a,b].

Заметим, что требование не строгости неравенства существенны. Заменив неравенства строгим, получим ложное утверждение.

Последовательность, элементы которой определяются удовлетворяет неравенству .Эта последовательность является бесконечно малой и её предел равен 0 .

Теорема 8:Пусть - две сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, все элементы третей последовательности , по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству (4)