41 Вопрос

Производные высших порядков.

Если функция определена на интервале(a,b) и дифференцируема во всех точках этого интервала, то является функцией определенной на (a,b).

Если эта функция также дифференцируема, то можно найти её производную - называется второй производной и обозначается = .

Если вторая производная также является дифференцируемой, то можно говорить о третьей производной = = .

В общем случае понятия n-ой производной вводится индуктивно.

Если известна и эта функция дифференцируема, то = .

Если функция обладает производной n-го порядка, то говорят, что эта функция n раз дифференцируема.

Если функция обладает производной n-го порядка, в каждой точке {x},то говорят, что f(x) n раз дифференцируема на множестве х.

Если функция обладает производной n-го порядка на отрезке (a,b),то говорят ,что f(x) принадлежит классу .

Если f(x) непрерывна, то f(x) принадлежит классу .

Высшие производные находят широкое применение в естествознании.

Функция y=f(x) описывает движение точки (прямолинейное),то её 1-я производная определяет скорость,2-я -определяет ускорение материальной точки.

Производные n-го порядка некоторых элементарных функций.

1) y= -произвольное вещественное число.

y’= , y’’= , y’’’=

Обобщив, выписанную последовательность производной получим:

2) y= , y’= y’’= y’’’=

Обобщив, выписанную последовательность производной получим:

3) y=sinx

y’=cosx=sin(x+

y’’= sin(x+ ’=cos(x+ (x+ ’= cos(x+ = sin(x+2

Заметим, что дифференцируя sinx практически смещаем аргумент на .

Т.о.

4) y=cosx

y’=-sinx= cos(x+ , y’’= cos(x+ ’=-sin(x+ = cos(x+2

Заметим, что дифференцируя sinx практически смещаем аргумент на .

Таким образом .

42 Вопрос

Дифференциалы высших порядков.

Будем использовать для обозначения дифференциалов наряду с символом d,символ , при этом инвариантное выражение dy=f’(x)dx (1) ,может быть так же записано y=f’(x) x (1’)

Найдём выражение для дифференциала от правой части выражения (1) (dy)= {f’(x)dx},при условии, что x=dx.при этом правая часть будет .

Если f(x) дважды дифференцируема, аргумент х при этом может быть как независимой переменной, так и функцией от некоторой переменной t.

Используя правило дифференцируемой производной (U(x)V(x))’=U(x)’V(x)+U(x)V(x)’d(U(x)V(x))= U(x)’V(x)+U(x)V(x)’d(x)=V(x)*(U’(x)dx)+U(x)*(V’(x)dx)=

= ,

Записанное выражение (2) называется – вторым дифференциалом.

При вычислении второго дифференциала существенно приходится различать два случая:

1) аргумент x является независимой переменной, в этом случае дифференциал , то есть, величине, не зависящей от выбора точки x. При этом дифференциал . В этом случае выражение второго дифференциала примет вид:

0

=

Таким образом замечаем, что если аргумент х является независимым, то вторая производная может быть представлена в виде:

, где -второй дифференциал функции .

Если аргумент х является функцией некоторой новой переменой, то выражение нового дифференциала примет вид:

Сравнивая, вторые дифференциалы в обоих случаях замечаем,

что второй дифференциал в отличие от первого не обладает свойством инвариантности формы.

Дифференциал n-ого порядка вводится индуктивно, если известен дифференциал (n-1)-ого порядка, то дифференциал n-ого порядка равен:

,

A, X, найдём член , что При этом , . Таким образом формула (2) может быть представлена в виде

(11)

Наиболее востребованы два частных случая формулы (11) :

1) p = n + 1

2) p = 1

Первый случай p = n + 1 приводит к остаточному члену в форме Лагранжа.

(12)

Остаточный член в формуле Лагранжа пополняет следующий, очередной член формулы Тейлора, только (n-1) – я производная функции f(x) вычисляется не в точке а, а в некоторой промежуточной между точками a и x точке c.

Второй из указанных частных случаев (p = 1) приводит к остаточному члену в форме Коши.