39 Вопрос

Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Функция задана параметрически, если переменные х и у этой функции определены, как функции некоторой вспомогательной переменной t.

Вспомогательная переменная t в этом случае называется параметром.

Функция (1) заданная системой (2) называется функцией, заданной параметрически.

На функцию накладывается дополнительное условие о существовании функции в некоторой окрестности, рассматриваемой т. , при этом и является вид функции (1)

В некоторых случаях функция (1) не может быть выражена в явном виде, хотя существует аналитическое представление в виде (2).

Установим правило дифференцирования функции при условии дифференцируемости функции и в окрестности т.

Дифференциал функции (1) может быть представлен в виде:

Используя представление (2) дифференциалы переменных х и у могут быть записаны в виде:

,

Тогда производная

Таким образом, если функция задана параметрически, то ее производная может быть представлена параметром t

40 Вопрос

Производная логарифмической функции.

определена при x>0,если a>0,a≠1

Составим разностное отношение для логарифмической функции, придав значение аргументу x значение неравное от 0 до приращения :

Для нахождения производной логарифмической функции, необходимо вычислить предел:

Выполним тождественные преобразования над выражением под знаком предела

преобразуем выражение под логарифмом

В силу справедливости логарифмической функции

Сделаем замену переменной в полученном пределе, обозначим через

Под знаком логарифма – число e.

Полученное выражение получается наиболее простым при определении производной

Производная от показательной функции определена на всей числовой прямой, при a>0, a≠1.

Показательная функция является обратной для для значений y>0.

Таким образом видим, что для показательной функции существует обратная функция, удовлетворяющая условиям о дифференциации обратной функции. Логарифмическая производная.

Производная степенно показательной функции.

Рассмотрим функцию , которая определена и дифференцируема на , причём значение этой функции .

При сделанных оговорках можно рассматривать сложную функцию .

Используя теорему дифференцируемости сложной функции заключаем что функция дифференцируема и её производная равна , (*)- Логарифмическая производная.

Логарифмическая производная в некоторых случаях позволяет находить производную от функции, не являющейся элементарными.

Пример: Рассмотрим степенно показательную функцию ,где U(x), V(x) дифференциалы на рассматриваемом интервале V(x)>0 .

Найдём производную от степенно показательной функции. Для этого вычислим её логарифмическую производную.

,

Таким образом, нашли производную функции, не являющейся элементарной.

Рассмотрим функцию и вычислим её предел X>0

,

Следовательно