12 Вопрос
Векторная алгебра.
Определение:Вектором будем называть направленный отрезок (упорядоченную пару точек).
Определение:Два вектора называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют равные длины.
Суммой
двух векторов
и
называется вектор
,
определяемый по правилу параллелограмма
или по правилу треугольника.
Произведением вектора на вещественное число называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
а)
b) вектор коллинеарен вектору
c)
векторы
и
направлены одинаково, если
, и противоположно, если
К векторам относятся также нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают.
Сложение векторов и умножение вектора на число удовлетворяют следующим свойствам :
1)
коммутативность
2)
ассоциативность
3)
4)
5)
ассоциативность относительно числовых
множителей
6)
дистрибутивность относительно сложения
чисел
7)
дистрибутивность относительно сложения
векторов
8)
Разностью
векторов
и
называется сумма вектора
и вектора, противоположного
,
то есть вектора
.
Вычитание определяется через сложение, и мы не будем считать его отдельной операцией.
Применяя линейные операции, можно составлять суммы векторов, умноженных на числа.
Выражение такого вида называют линейной комбинацией векторов
Система координат.
Фиксируем
в пространстве точку О и рассмотрим
произвольную точку М. Радиус-вектором
точки М по отношению к точке О называют
вектор
.
Если в пространстве кроме точки О выбрать некоторый базис, то точке М можно сопоставить упорядоченную тройку чисел – компонент ее радиус-вектора.
Определение: Декартовой системой координат в пространстве называют совокупность точки О (начало координат) и базиса.
- компоненты радиус-вектора т.М по отношению к началу координат называются координатами т.М в рассматриваемой системе координат.
- Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и по длине равны единице. Декартова система координат, базис которой ортонормирован наз. декартовой прямоугольной системой координат.
Деление отрезка в заданном отношении
Найдем
координаты т.М на отрезке АВ, которая
делит этот отрезок в отношении
/
,
т.е.
удовлетворяет условию:
Последние условие можно переписать в виде:
О
бозначив
через и
Соответственно
координаты точек А и В, а через
координаты т.М
Разложив обе части по базису, найдем:
=>
=>
=>
Эти формулы известны под названием формул деления отрезка в заданном отношении.