Задача 89

Протон влетает в однородное магнитное поле под углом 30 градусов к направлению поля и движется по винтовой линии радиусом R=l,5 см. Индукция магнитного поля В=0,1 Тл. Найти кинетическую энергию W протона.

Дано: В=0,1 Тл  = 30° R=l,5 см q=1,6·10-19 Кл т=1,7·10-27 кг	Решение: Разложим скорость 0 на две составляющие =0 cos , n = 0 sin. (1') Как известно, кинетическая энергия протона определяется отношением
W - ?

(1)

На частицу действует сила Лоренца, обусловленная составляющей _n, и частица движется по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной к полю, в этой плоскости сила Лоренца является центростремительной силой, а значит, сообщает заряду перпендикулярное к скорости ускорение, определяемое отношением

.

П

о второму закону Ньютона сила Лоренца равна

(2)

Как мы знаем

F_Л = q_nB. (3)

Приравнивая (2) и (3), получаем равенство

(2')

Подставим (1') в (2'), получаем

(4)

Подставим (3) в (4), получаем

Вычисления:

Ответ: кинетическая энергия протона равна

Задача 90

Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно пластинам со скоростью ₀=10⁷ м/с. Длина конденсатора l=0,05 м. Напряженность электрического поля конденсатора Е=10 кВ/м. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, перпендикулярное к электрическому полю. Индукция магнитного поля В=10 мТл. Найти радиус R и шаг h винтовой траектории электрона в магнитном поле.

Дано: 0=107 м/с В=10-2 Тл l=0,05 м Е=104 В/м	Решение: В этом случае удобно разложить скорость 0 на две составляющие, одна из которых =0 cos , параллельна полю, а другая n = 0 sin перпендикулярна полю. Найдем составляющую n. Для этого необходимо рассмотреть движение электрона в
R, h - ?	плоском конденсаторе. Влетая в конденса-

тор, электрон начинает двигаться кроме прямолинейного движения по инерции, еще по оси Оу с ускорением а под действием электростатического поля в плоском конденсаторе с начальной скоростью, равной нулю, а значит

_n = at₁, (1)

где t₁ - время пролета электроном конденсатора.

Время t₁ найдем из отношения

. (2)

Подставим (2) в (1), получаем

. (3)

Н

айдем ускорение а. Сила, сообщающая электрону ускорение а, по второму закону Ньютона равна

F = ma (4)

Выразим эту силу через характеристики поля. Поскольку

F = eE (5)

мы можем воспользоваться равенством выражений (4) и (5), т.е.

ma = eE

. (6)

Подставим (6) в (3), получаем, что

.

При вылете частицы из конденсатора и попадания ее в сферу действия магнитного поля, на нее действует сила Лоренца, обусловленная составляющей _n, и частица движется по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной к полю. В этой плоскости сила Лоренца является центростремительной силой, сообщающей перпендикулярное к скорости ускорение:

По второму закону Ньютона сила Лоренца может быть найдена как

(8)

Как мы знаем, что выражение для силы Лоренца имеет вид

F_Л = q_nB. (9)

Приравняем выражения (8) и (9), получаем:

Отсюда

. (10)

Подставим (7) в (10), получаем

Шаг линии h можно найти, умножив _ на период обращения Т, определяемый формулой

т.е.

(11)

Из геометрических соображений, возникающих при анализе АВС, мы находим то, что

Т.к. частица в конденсаторе движется по оси Ох равномерно со скоростью ₀, а впоследствии составляющая _=₀, т.е. в выражение (II) вместо _ подставим ₀, и вместо _n выражение (7), получаем

Вычисления:

Ответ: радиус винтовой траектории R=5 мм, шаг винтовой траектории h=3,6 см.