§ 12. Преобразования подобия

п.1. Гомотетия

Гомотетией H_O^k плоскости (пространства) с центром O и коэффициентом k (k ≠0) называется отображение плоскости (пространства) в себя, при котором для любой точки X и её образа X′ выполняется равенство:

Гомотетия H_O¹ есть тождественное преобразование.

Гомотетия H_O^-1 есть центральная симметрия относительно точки O.

Теорема 1. Для любых двух точек X, Y и их образов X′, Y′ при гомотетии H_O^k выполняется равенство: | |

Доказательство. Так как

то

Теорема 2. Всякая гомотетия обратима, при этом

(H_O^k)^-1 = H_O^1/k.

Доказательство. Из предыдущей теоремы следует, что если точки X и Y различны, то их образы тоже различны. Значит, гомотетия взаимно однозначное отображение.

Докажем, что всякая точка X является образом некоторой точки Y при гомотетии H_o^k. Рассмотрим точку Y, удовлетворяющую условию Тогда Обозначим H_O^k(Y)=Y. По определению гомотетии H_O^k выполняется равенство Следовательно, X = Y= H_o^k(Y). Это значит, что гомотетия есть отображение плоскости (пространства) на себя. Таким образом, гомотетия обратима. Из этого же рассуждения следует, что (H_O^k)^-1 = H_O^1/k.

Теорема 3. Композиция двух гомотетий с общим центром есть гомотетия с тем же центром, при этом

H_O^m H_O^k = H_O^mk

Доказательство. Обозначим H_O^k(X)=Y. H_O^m(Y)= Z. Для любой точки X выполняются равенства: .

Следовательно, Z= H_O^mk (X) иH_O^m ο H_O^k = H_O^mk

Непосредственно из определения гомотетии следуют формулы её аналитического задания в декартовых координатах. Обозначим координаты произвольной точки M(x,y,z), её образа – M(x,y,z) координаты центра гомотетии – O(x_o, y_o, z₀). Тогда получим:

x′=k(x-x_o) + x_o,

y′= k(y-y_o) +y_o,_, (1)

z′ = k(z-z_o) +z_o.

Если центр гомотетии совпадает с началом координат, формулы (1) принимают вид: x′=kx

y′= ky_, (2)

z′ = kz_.

Теорема 4. При всякой гомотетии образ плоскости, проходящей через центр гомотетии, есть эта плоскость; образ плоскости, не проходящей через центр гомотетии, есть параллельная ей плоскость; образ прямой, проходящей через центр гомотетии есть эта прямая; образ прямой, не проходящей через центр гомотетии, есть параллельная ей прямая; образ луча есть луч, образ отрезка – отрезок.

Доказательство. Введём декартовы координаты с началом в центре гомотетии. Пусть плоскость λ задана уравнением

Ax +By +Cz +D =0.

Из равенств (2) следует: x=x′/k ,y=y′/k, z=z′/k . Поэтому образ λ′ плоскости задаётся уравнением:

λ′ : Ax′ +By′ + Cz′ + kD = 0.

Если плоскость λ проходит через центр гомотетии (D = 0), то плоскости λ′ и λ совпадают. Если плоскость не проходит через центр гомотетии (D≠0), то плоскости λ и λ′ параллельны.

Аналогично доказываются остальные утверждения теоремы.

Теорема 5. Всякая гомотетия сохраняет величину угла.

Доказательство. Пусть дан угол АВС. Его образ при гомотетии H_O^k обозначим АВС. Справедливость теоремы следует из равенств:

Непосредственно из определения гомотетии H_O^k следуют формулы её аналитического задания в декартовых координатах на плоскости. Обозначим координаты произвольной точки через (x, y), а координаты её образа - (x, y), координаты центра гомотетии - (x₀, y₀). Получим:

п.2. Преобразование подобия

Преобразованием подобия плоскости (пространства) с коэффициентом k (k > 0) называется отображение плоскости (пространства) в себя, при котором для любых двух точек X и Y и их образов X′ Y′ выполняется равенство: │X′Y′│= k│XY│

Всякое движение есть преобразование подобия с коэффициентом 1. Гомотетия есть преобразование подобия с коэффициентом │k│.

Теорема 6. Всякое преобразование подобия можно представить в виде композиции движения и гомотетии.

Доказательство. Пусть П^к – некоторое преобразование подобия с коэффициентом k . Рассмотрим гомотетию H_O^1/k с произвольным центром О. Из определения и теоремы 1 следует, что композиция φ=H_O^1/k П^к сохраняет расстояние между точками. Следовательно, отображение φ является движением. Из равенства H_O^k H_O^1/k П^к ₌ H_O^k φ следует П^к ₌ H_O^k φ.

Теорема 7. Множество всех преобразований подобия плоскости (пространства) есть группа преобразований.

Доказательство. Из предыдущей теоремы следует, что всякое преобразование подобия обратимо и обратное ему преобразование есть преобразование подобия. Из определения преобразования подобия следует, что композиция двух преобразований подобия есть преобразование подобия.

Теорема 8. При всяком преобразовании подобия образ прямой есть прямая, образ луча – луч, образ отрезка – отрезок. Всякое преобразование подобия сохраняет величину угла.

Эта теорема есть очевидное следствие теоремы 6 и аналогичных свойств движений и гомотетий.

Фигура F называется подобной фигуре F′, если существует преобразование подобия, переводящее фигуру F в фигуру F′.

Теорема 9 . Отношение подобия фигур есть отношение эквивалентности.

Доказательство. Из теоремы 7 следует, что отношение подобия фигур рефлексивно, симметрично, транзитивно.

п.3. Подобие треугольников

В школьных учебниках подобие многоугольников определяется через равенство соответствующих углов и пропорциональность сторон, и признаки подобия треугольников доказываются на основе этого определения. Докажем один из признаков подобия треугольников, исходя из приведённого здесь более общего определения подобия (оно действительно более общее, поскольку не у всякой фигуры есть стороны и углы).

Теорема 10. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство. Пусть для треугольников ABC и выполняются условия: .

Применим к треугольнику ABC гомотетию H^k_А. Получим треугольник AB₁C₁, у которого AB₁= AB, AC₁=AC, A=A. Треугольники и AB₁C₁ равны. Это значит, что треугольник есть образ треугольника AB₁C₁ при некотором движении φ. Следовательно, он является образом треугольника АВС при композиции гомотетии H^k_А. и движения φ, т.е. при преобразовании подобия.

Другие признаки подобия треугольников доказываются так же.

п.4. Аналитическое задание преобразования подобия

Из теоремы 6 и формул, задающих движение (6) и гомотетию, следует, что преобразование подобия пространства в декартовых координатах задаётся системой вида: x′= k(a₁x + a₂ y +a₃z + a),

y′= k(b₁x + b₂ y +b₃z + b),

z′= k(c₁x + c₂ y +c₃z + c),

при условии, что матрица ортогональна.

Преобразование подобия плоскости задаётся в декартовых координатах системами

или

п.5. Применение подобия к решению задач

Исходя из свойств гомотетии, можно приблизительно определить круг задач, для решения которых часто используется гомотетия.

Это: а) доказательство подобия фигур (так как гомотетия - частный случай подобия); б) доказательство параллельности прямых (так как гомотетичные прямые параллельны); в) доказательство принадлежности трёх точек одной прямой (так как точка, её образ при гомотетии и центр этой гомотетии лежат на одной прямой); г) нахождение отношения, в котором какая-нибудь точка делит отрезок.

Подобие можно использовать, например, при решении задач, в которых требуется найти отношение отрезков или доказать равенство фигур, что легко осуществляется после нахождения коэффициента подобия рассматриваемых фигур.

Пример. Доказать, что средняя линия треугольника параллельна стороне, которую она не пересекает, и равна её половине.

Решение. Пусть в треугольнике ABC проведена средняя линия MN, не пересекающая сторону BC. Рассмотрим гомотетию с центром в точке A и коэффициентом, равным 2. Тогда H_A² (M)=B, H_A² (N)=C, а потому H_A²(MN)=BC. А это и означает требуемое.

Пример. Доказать, что в каждом треугольнике ортоцентр, центр тяжести и центр вписанной окружности лежат на одной прямой.

Решение.

Пусть К и Р - середины сторон АВ и АС треугольника АВС (рис.13), О - центр вписанной окружности, Н - ортоцентр. Рассмотрим треугольники КОР и ВНС. Очевидно, что их стороны попарно параллельны и не равны, а потому гомотетичны. Центр гомотетии находится в точке пересечения прямых, соединяющих соответствующие вершины: КС и ВР, но эти прямые содержат медианы треугольника, а потому пересекаются в центре тяжести треугольника. Таким образом, утверждение доказано.

Пример. Даны два равнобедренных прямоугольных треугольника. Известно, что расстояние от центра тяжести до центра описанной окружности одного треугольника равно расстоянию от центра тяжести до центра описанной окружности другого треугольника. Верно ли, что эти треугольники равны?

Решение. Очевидно, данные треугольники подобны. При подобии, отображающем первый треугольник на второй, центры тяжести (и центры описанных окружностей) являются соответствующими точками (почему?), а значит, и данные в условии задачи являются соответствующими. Отношение их длин равно 1, поэтому рассматриваемое подобие есть движение, а значит, треугольники равны.