3. Аффинные преобразования плоскости

3.1. На прямой x₁+x₂+2 = 0 найдите точку, которая при аффинном преобразовании переходит в точку, лежащую на этой же прямой.

3.2. Найдите аффинное преобразование, при котором точки (1, 1), (1, 0), (0, -2) переходят соответственно в точки A, B, C, если: а) A (1, 4), B (2, 3), C (3, 0); б) A (4, 1), B (5, 0), C (5, -3).

3.3. Дано аффинное преобразование Найдите прямую, проходящую через точку (1, 0), образ которой проходит через эту точку.

3.4. Напишите в общем виде формулы аффинных преобразований плоскости, при которых:

а) ось OX неподвижна;

б) оси координат инвариантны.

3.5. Найдите аффинное преобразование пространства A², при котором оси координат инвариантны, точка (0, 1) переходит в точку (0, 4), а точка (3, 0) – в точку (-9, 0).

3.6. Найдите главные направления преобразования подобия.

3.7. Докажите, что любое аффинное преобразование отличное от подобия имеет только два главных направления.

3.8. Докажите, что сдвиг вдоль прямой сохраняет площадь любой фигуры.

3.9. Через центр прямоугольника проведите две прямые, разбивающие его на равновеликие четырёхугольники. Сколько решений имеет задача?

3.10. Докажите, что два четырёхугольника аффинно-эквивалентны тогда и только тогда, когда их соответствующие диагонали делятся точками пересечения в одинаковых отношениях.

3.11. Для любого ли четырёхугольника существует аффинно-эквивалентный ему четырёхугольник с равными взаимно перпендикулярными диагоналями?

3.12. Докажите, что любые два параллелограмма аффинно-эквивалентны.

3.13. Докажите, что если аффинное преобразование переводит некоторую окружность в окружность того же радиуса, то оно – движение.

Гомотетия

3.14.Докажите, что если прямая не проходит через центр гомотетии, то её образ при этой гомотетии есть прямая, ей параллельная.

3.15. Докажите, что для любых двух неравных треугольников с соответственно параллельными сторонами существует гомотетия, отображающая один из них на другой. Каков её коэффициент? Сколько таких гомотетий существует?

3.16. Докажите, что любые два не равных, но подобных многоугольника с соответственно параллельными сторонами гомотетичны.

3.17. Докажите, что любые две окружности гомотетичны. Сколько существует гомотетий, отображающих одну из двух данных окружностей на другую?

3.18*. Докажите, что композицией двух гомотетий является параллельный перенос или гомотетия, причем в последнем случае все три центра гомотетии лежат на одной прямой.

3.19. Докажите, что диаметры АВ и CD двух касающихся кругов (точки B и D лежат по одну сторону от линии центров кругов) параллельны тогда и только тогда, когда прямые ВС и AD проходят через точку касания этих кругов.

3.20. В плоскости четырёхугольника дана точка М. Докажите, что точки, симметричные точке М относительно середин сторон четырёхугольника, являются вершинами параллелограмма.

3.21. Докажите, что ортоцентр треугольника удален от его вершины на расстояние, вдвое большее, чем центр описанной окружности от противолежащей стороны.

3.22. Докажите, что три прямые, проведённые через середины сторон треугольника параллельно биссектрисам противолежащих углов, пересекаются в одной точке.

3.23. Докажите, что два многоугольника подобны, если стороны и диагонали одного из них пропорциональны соответствующим элементам второго.

3.24. Докажите, что две трапеции подобны, если стороны одной из них пропорциональны соответствующим сторонам другой.

3.25. Придумайте и докажите какие-нибудь признаки подобия а) параллелограммов; б) трапеций; в) произвольных четырехугольников.

3.26. Обозначим в треугольнике АВС стороны, противолежащие его углам, буквами а,в,с соответственно. Медианы, высоты, биссектрисы, проведённые к сторонам а,в,с, обозначим соответственно: m_a, m_b, m_c ; h_a, h_b, h_c ; l_a, l_b, l_c .

Докажите: для того чтобы два треугольника АВС и А₁В₁С₁ были подобны, необходимо и достаточно, чтобы а) , ; б) а:а₁=ь:ь₁=m_c:m_c1; в) .

3.27. Даны два подобных треугольника. Одна высота одного треугольника равна высоте другого. Являются ли эти треугольники равными?

3.28. Докажите, что два треугольника равны, если они имеют соответственно равные углы при основаниях и равные биссектрисы, проведённые к этим основаниям.