§ 8. Поворот пространства вокруг прямой

п.1. Определение и аналитическое задание поворота

Поворотом (вращением) пространства вокруг прямой p называется движение пространства, при котором множеством всех неподвижных точек являются либо прямая p (ось поворота), либо пространство; в последнем случае любая прямая считается осью поворота.

Поворот пространства вокруг оси Oz задаётся формулам:

x =x cos - y sin,

y = x sin + y cos, (1)

z = z.

Действительно, множество неподвижных точек определяется системой уравнений

x =x cos - y sin,

y = x sin + y cos, (2)

z = z.

При  ≠ 0 система имеет бесконечное множество решений вида (0,0, z), где z – любое число, т.е. множеством всех неподвижных точек является ось Oz. Если  = 0, то система (2) является тождеством. Будем обозначать поворот R_p.

Поскольку определитель преобразования (1) равен 1, поворот является движением I рода.

Поворот пространства вокруг прямой, не совпадающей ни с одной из координатных осей, задаётся более сложной системой. Для изучения общих свойств поворота можно ограничиться рассмотрением поворотов вокруг координатной оси.

п.2. Свойства поворота пространства

Теорема 1. Всякая плоскость , перпендикулярная оси поворота, при повороте переходит в себя, и сужение поворота есть поворот плоскости  вокруг точки пересечения A плоскости с осью.

Доказательство. Так как точка A лежит на оси, то она неподвижна. При всяком движении плоскость переходит в плоскость, угол между прямой и плоскостью сохраняется, следовательно, плоскость переходит в плоскость, проходящую через точку A перпендикулярно прямой p, т.е. в себя. Точка A – единственная неподвижная точка плоскости , поэтому сужение есть поворот плоскости .

Теорема 2. Всякая полуплоскость  с границей p при повороте R_p переходит в полуплоскость с границей p. При этом для любой плоскости  и её образа  угол (,^) один и тот же.

Доказательство. Поскольку полуплоскость при движении переходит в полуплоскость, а прямая p неподвижна,  есть полуплоскость с границей p. Второе утверждение теоремы доказывается так же, как теорема 2 § 6.

Как и для поворота плоскости, можно доказать следующую теорему.

Теорема 3. Композиция двух поворотов вокруг одной прямой p есть поворот вокруг этой прямой, причем R_p^ ◦R_p^ = R_p^{ +} . Эта композиция коммутативна.

Частным случаем поворота пространства является осевая симметрия пространства – поворот вокруг оси на угол .

Фигура называется симметричной относительно прямой p, если при симметрии относительно этой прямой она отображается на себя.

Например, сфера симметрична относительно любой прямой, проходящей через её центр; правильный тетраэдр имеет три оси симметрии, проходящие через середины попарно скрещивающихся рёбер; параболоид вращения имеет единственную ось симметрии.

§ 9 Осевая симметрия плоскости

п.1. Определение и аналитическое задание осевой симметрии

Точки A и A, не лежащие на прямой p, называются симметричными относительно прямой p, если отрезок AA перпендикулярен этой прямой и делится ею пополам. Если точка A лежит на прямой p, то она симметрична себе.

Отображение плоскости в себя называется симметричной относительно прямой p, если каждой точке ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно прямой p. Будем обозначать такую симметрию символом S_p. Очевидно, что при такой симметрии прямая p неподвижна.

Из определения симметрии следует, что всякая осевая симметрия обратима и S_p^-1 = S_p (1)

или, что то же самое, S_p ◦S_p=e (2)

Всякое отображение, обладающее свойством (1), называется инволюцией.

Теорема 1. Осевая симметрия плоскости есть движение.

Доказательство. Примем ось симметрии за координатную ось Ox. Тогда симметрия задаётся системой

x = x,

y = y (3)

Докажем, что для любых точек A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) и их образов A(x₁,y_1), B(x₂,y₂ ) выполняется равенство AB=AB.

AB² = (x₂- x₁)² + (y₂- y₁)² = (x₂- x₁)² +[(-y₂ ) – (-y₁)]² = (x₂- x₁)² + (y₂- y₁)² = AB ².

Найдём формулы, задающие симметрию относительно прямой, параллельной оси Oy. Пусть прямая p задана уравнением x=a и M(x, y) – образ точки M (x,y). Прямая MM параллельна оси Ox, поэтому y=y (рис. 5) Точка B(a,y) пересечения отрезка MM с прямой p является серединой отрезка MM. По формуле для координат середины отрезка получим: , откуда следует: x= -x+2a. Таким образом, симметрия S_p задаётся системой:

x = -x +2a

y = - y (4)

Легко видеть, что всякая система вида (3) задаёт симметрию относительно прямой p: x=a.

Поскольку

осевая симметрия есть движение II рода и она меняет ориентацию плоскости.

Прямая p называется осью симметрии фигуры, если при симметрии относительно этой прямой фигура переходит в себя. Осями симметрии отрезка являются содержащая его прямая и его серединный перпендикуляр; прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии; квадрат имеет четыре оси симметрии.

п.2. Композиции осевых симметрий

Теорема 2. Композиция двух осевых симметрий с параллельными осями есть параллельный перенос на вектор, перпендикулярный этим осям, направленный от первой прямой ко второй, и длина этого вектора вдвое больше расстояния между прямыми.

Доказательство. Даны параллельные прямые p и q. Примем прямую p за ось Oy. Тогда прямая q задаётся уравнением вида x=a. Симметрии S_p и S_q задаются системами

а их композиция – системой:

т.е. эта композиция есть параллельный перенос на вектор . Этот вектор перпендикулярен прямым p и q, направлен от прямой p к прямой q, и его длина равна 2a.

Теорема 3. Композиция двух симметрий с пересекающимися осями есть поворот вокруг точки их пересечения, направленный от первой оси ко второй, на угол, вдвое больший угла между осями.

Доказательство. Пусть оси p и q пересекаются в точке O. Точка O принадлежит каждой из осей и потому неподвижна. Докажем, что точка O – единственная неподвижная точка. Пусть A – неподвижная точка, т.е.

S_q ◦S_p(A)=A. Тогда S_q ◦S_q ◦S_p(A)=S_q(A). Но S_q ◦S_q=e и S_p(A)= S_q(A). Если S_p(A)=S_q(A)=A, то точка A совпадает с точкой O. Если S_p(A)=S_q(A)=B и B≠ A, то прямая AB перпендикулярна каждой из пересекающихся прямых p и q , что невозможно. Следовательно, O - единственная неподвижная точка, и композиция есть поворот вокруг точки.

Найдём угол поворота. Поскольку все лучи с началом в точке O поворачиваются на один угол, то достаточно для одного луча l и его образа l найти угол между ними. В качестве луча l выберем один из лучей прямой p с началом O (рис.6). Тогда, если меньший из углов, образованных лучом l с прямой p равен , то угол (l,^ l) = 2.

Следующая теорема показывает роль осевой симметрии в геометрии.

Теорема 4. Всякое движение плоскости либо есть осевая симметрия, либо может быть представлено композицией двух или трёх осевых симметрий.

Доказательство. Пусть данное движение f отображает положительные полуоси Ox, Oy декартовой системы координат ω на соответствующие положительные полуоси декартовой системы координат . Этим движение f определено однозначно (теорема подвижности).

При симметрии S₁ относительно серединного перпендикуляра отрезка точка O отобразится на точку (рис.7). Образы положительных полуосей Ox и Oy обозначим x₁ и y₁. Симметрия S₂ относительно прямой, содержащей биссектрису угла , отображает положительную полуось x₁ на полуось . Полуось y₁ переходит при этом либо в положительную полуось и тогда композиция S₂S₁ отображает полуоси Ox и Oy на полуоси и , и f=S₂S₁, либо полуось y₁ переходит в отрицательную полуось оси . При симметрии S₃ относительно оси отрицательная полуось перейдёт в положительную полуось, и тогда f=S₃ S₂ S₁. В зависимости от взаимного расположения осей координатных систем ω и некоторые из указанных симметрий могут оказаться ненужными.

Следствие. Всякое движение плоскости I рода представимо в виде композиции чётного числа осевых симметрий, а всякое движение II рода представимо в виде композиции нечётного числа осевых симметрий.