2. Движения плоскости

2.1. Напишите формулы, задающие поворот на угол вокруг точки (х₀, у₀).

2.2.Задайте аналитически поворот, обратный повороту

2.3. Найдите угловой коэффициент прямой y = kx+b при повороте на угол .

2.4. Напишите формулы, задающие симметрию относительно прямой Ax+By+C = 0.

2.5 Какое движение задается формулами

?

Найдите обратное преобразование.

2.6. При каком условии движение, указанное в предыдущей задаче, является осевой симметрией?

В задачах 2.7 – 2.24 дано движение. Найдите: а) образ и прообраз точки М; б) множество всех неподвижных точек; в) образ и прообраз прямой l ; г) инвариантные прямые; д) вид движения; е) обратное преобразование. Выполнять эти задания можно в различной последовательности.

2.7. x = x+2, y = y -1;

М (3,1); l :x+y = 0.

2.8. x=x-5, y = y+4;

M (3,-2); l: x = 0.

2.9. x = -y+3, y = x+1;

M (1,4); l: x = 0.

2.10. x^ = y-3, y = -x-1;

M(2,2); l: 2x+y = 3.

2.11. x^ = (5/13)x - (12/13)y + 2, y = (12/13)x + (5/13)y – 2;

M(0,0); l: x = 0.

2.12. x^ = (4/5)x - (3/5)y + 1, y = (3/5)x + (4/5)y + 2;

M(5,5); l: y = x.

2.13. x^ = (3/5)x – (4/5)y +1, y = (4/5)x +(3/5)y – 2;

M(0,0); l: y = 0.

2.14. x^ = (5/13)x-(12/13)y, y = (12/13)x + (5/13)y;

M(1,1); l: x = 1.

2.15. x^ = -x+2, y=-y+4;

M(5,6); l: y = x.

2.16. x^ = (-3/5)x + (4/5)y+4/5, y = (-4/5)x – (3/5)y + 12/5;

M(0,0); l: y = 2.

2.17. x^ = y, y = x;

M(2,1); 3x - y + 5 = 0.

2.18. x^ = (5/13)x + (12/13)y, y = (12/13)x – (5/13)y;

M(1,0); 3x - 2y = 0.

2.19. x^ = (5/13)x + (12/13)y – 2, y = (12/13)x – (5/13)y+3;

M(0,0); l: x = 1.

2.20. x^ = -y, y = -x;

M(3,1); l: y = 0..

2.21. x^ = y+2, y = x-2;

M(-1,1); x+2y = 0.

2.22. x^ = (3/5)x + (4/5)y, y = (4/5)x – (3/5)y;

M(1,1); l: x = 0.

2.23. x^ = (4/5)x – (3/5)y – (8/5), y = (-3/5)x-(4/5)y-(24/5);

M(1,2); l: x = 0.

2.24. x^ = -x+3, y = y-4;

M(7,1); l: 4x = 3y.

Параллельный перенос.

2.25. Докажите, что при всяком параллельном переносе образ любой прямой есть прямая, образ любого луча – луч, образ любого отрезка – отрезок.

2.26. Докажите: чтобы движение было параллельным переносом, необходимо и достаточно, чтобы оно каждый луч отображало на сонаправленный с ним луч.

2.27. Найдите неподвижные точки и неподвижные прямые параллельного переноса.

2.28. Берега реки – параллельные прямые. По разные стороны от реки расположены пункты А и В. В каком месте нужно построить мост перпендикулярно берегам, чтобы дорога, соединяющая эти пункты, была кратчайшей?

Центральная симметрия

2.29. Докажите, что всякая центральная симметрия есть движение, меняющее направление на противоположное.

2.30. Докажите, что всякое движение, меняющее все направления на противоположные, есть центральная симметрия.

2.31.Приведите примеры фигур, имеющих центр симметрии. Может ли фигура иметь больше одного центра симметрии?

2.32. Докажите, что четырёхугольник, имеющий центр симметрии, есть параллелограмм.

2.33. Докажите, что образ прямой при центральной симметрии есть или эта прямая, или прямая, ей параллельная.

2.34. Докажите, что ограниченная фигура имеет не больше одного центра симметрии.

2.35. Докажите, что любая фигура не может иметь ровно два центра симметрии.

2.36. Найдите все неподвижные точки и инвариантные прямые центральной симметрии.

Осевая симметрия

2.37. Докажите, что всякий параллельный перенос можно представить в виде композиции двух осевых симметрий.

2.38. Найдите все неподвижные точки и инвариантные прямые осевой симметрии.

2.39. Приведите примеры фигур, имеющих ось симметрии. Может ли фигура иметь больше одной оси симметрии?

2.40. Может ли ограниченная фигура иметь две параллельные оси симметрии?

2.41. Чем является композиция двух симметрий относительно взаимно перпендикулярных прямых?

2.42. Верно ли, что если фигура имеет центр и ось симметрии, то центр лежит на оси?

2.43. По одну сторону от прямой m лежат точки А и В. На прямой m найдите такую точку С, чтобы ломаная АСВ имела наименьшую длину.

2.44. Докажите, что всякий поворот плоскости может быть представлен как композиция двух осевых симметрий.

Композиции движений

Определите вид следующих движений.

2.45. R^_B○R^_A, A(2,0), B(-3,0).

2.46. S_q○S_p, p: x-y = 1, q: x-y = -1.

2.47. R^-/2_B○R^/2_A, A(0,0), B(2,0).

2.48. S_p○R^/2_O, p: y = 0, O(0,0).

2.49. ○S_p, p: y = 0, O(0,0).

2.50. T_a○R^/4₀, O(0,0), a(2,0).

2.51. T_a○S_p, p: y = x, a(2,0).

2.52. Z_O○ .

2.53. R^/6○S_p, O(0,0), p: y = 0.

2.54. S_p○ , O(0,0), p: y = 0.

2.55. T_a○S_p, p: y = 0, a(2,2).

2.56. S_p○Z_O, O p.

2.57. S_p○Z_O, O p.

2.58. Z_O○T_a, O(0,0), a(a,0).

2.59. T_a○Z_O, O(0,0), a(a,0).

2.60. Z_O○S_p○S_q, qp, Opq.

2.61. T_a○S_q○S_p, где p: x=0, q: y=0, a=(2,2).

2.62. S_r○S_q○S_p, прямые p, q, r содержат стороны правильного треугольника.

2.63. Какими движениями являются следующие композиции: Z_BZ_A, Z_AZ_A, ?

2.64. Докажите, что каждая из композиций Z_CZ_BZ_AZ_CZ_BZ_A и Z_AZ_BZ_CZ_AZ_BZ_C есть тождественное отображение.

2.65. Какими движениями являются композиции: Z_OS_p и S_pZ_O, если О – точка прямой p?

Разные задачи

2.66. Докажите, что если при повороте на некоторый угол вокруг точки О треугольник переходит в себя, то он правильный, точка О есть центр тяжести треугольника и угол поворота равен 120⁰ или 240⁰.

2.67 Докажите, что если у треугольника есть две оси симметрии, то он правильный.

2.68. Докажите, что если при повороте вокруг некоторой точки О на угол, отличный от 180⁰, четырехугольник переходит в себя, то он квадрат, точка О – его центр и угол поворота равен 90⁰ или 270⁰.

2.69. Докажите, что если у четырёхугольника есть две не взаимно перпендикулярные оси симметрии, то он квадрат.

2.70. Докажите, что если у пятиугольника есть две оси симметрии, то он правильный. Верно ли аналогичное утверждение для шестиугольника, семиугольника?

2.71. Докажите, что если две непараллельные прямые симметричны друг другу относительно третьей прямой, то точка пересечения этих прямых принадлежит оси симметрии.

2.72. Докажите, что если одна прямая получена из другой поворотом на некоторый угол α, то один из углов, образованных этими прямыми, равен α. В частности, центрально симметричные прямые параллельны или совпадают.

2.73. Докажите, что для того чтобы движение сохраняло направления, необходимо и достаточно, чтобы оно было параллельным переносом.

2.74. Докажите, что две равные окружности касаются друг друга внешним образом в точке А. Докажите, что на каждой прямой, проходящей через точку А, окружности высекают равные между собой хорды.

2.75. В четырёхугольнике АВСD углы А и С равны между собой, диагональ BD делится другой диагональю пополам. Докажите, что ABCD - параллелограмм.

2.76. На сторонах параллелограмма построены правильные треугольники вне этого параллелограмма. Докажите, что центры тяжести этих треугольников являются вершинами нового параллелограмма.

2.77. Через центр правильного треугольника проведены две прямые, угол между которыми 60^º. Докажите, что отрезки этих прямых, заключенные внутри треугольника, равны между собой.

2.78. Докажите, что хорды одной окружности, одинаково удалённые от её центра, равны между собой

2.79. Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, есть ромб.

2.80. Через вершину А треугольника АВС проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе угла А треугольника, и на ней взята точка М. Докажите, что периметр треугольника ВМС больше периметра треугольника АВС.

2.81. Две равные окружности γ₁ и γ₂ пересекаются в точках M и N. Точки Р и К этих окружностей принадлежат их линии центров и находятся в одной полуплоскости с границей MN. Докажите, что сумма квадратов отрезков MN и РК не зависит от расстояния между центрами этих окружностей.

Указание. Пусть точки Р и К принадлежат соответственно окружностям γ₁ и γ₂. Рассмотрите параллельный перенос на вектор РК. Постройте М' - образ точки М при этом переносе и докажите, что точка М' диаметрально противоположна точке N окружности γ₂.

2.82. В треугольнике АВС проведены все средние линии. Пусть О₁,О₂,О₃ и Q₁,Q₂,Q₃ - центры тяжести и ортоцентры¹ (соответственно) получившихся при этом маленьких треугольников, содержащих углы А, В, С. Докажите равенство треугольников О₁О₂О₃ и Q₁Q₂Q₃.

Указание. Найдите параллельный перенос, отображающий треугольник О₁О₂О₃ на треугольник Q₁Q₂Q₃.