1.Преобразования декартовой системы координат и ориентация плоскости и пространства

1.1. Декартова система координат получена из системы координат

параллельным переносом на вектор {-1,3}.В системе координат заданы:

а) точка A(-1,3), б) прямая l: x – 2y + 3 = 0, в) фигура F: x² – y²-2y=0. Как заданы эти фигуры в системе ?

1.2. Декартова система координат получена из системы координат

параллельным переносом на вектор {-1,3}.В системе координат заданы:

а) точка A(2,-5), б) прямая l: 3 x + 2y -5 = 0, в) фигура F: x² + y²-2x=0. Как заданы эти фигуры в системе ?

1.3. Докажите, что уравнение x² + 4y ² – 4x + 6y = 0 задаёт эллипс.

1.4. Вектор длина которого равна 5, лежит в плоскости xOy и образует с осями Ox и Oy углы 30º и 60º соответственно. Определите его координаты.

1.5. Докажите, что координаты единичного вектора в декартовой системе координат равны косинусам углов наклона этого вектора к соответствующим осям.

1.6. Объясните: а) как получаются формулы перехода от новых координат к старым (см. формулы /6/);

б) почему матрица систем уравнений /5/ (и /6/) является ортогональной, а её определитель равен 1.

1.7. Докажите справедливость формул 12-16, 19.

1.8. Декартова система координат получена из системы координат поворотом вокруг начала координат на угол 45º. В системе координат заданы: а) точка A(4,-6), б) прямая l: 2x – 5y + 3 = 0, в) фигура F: x² - y=3. Как заданы эти фигуры в системе ?

1.9. Декартова система координат получена из системы координат поворотом вокруг начала координат на угол 45º. В системе координат заданы:

а) точка A(2,-5), б) прямая l: 3 x + 2y -5 = 0, в) фигура F: x² + y²-2x=0. Как заданы эти фигуры в системе ?

1.10. Докажите, что уравнение xy=-5 задаёт гиперболу.

1.11. Может ли переход от одного базиса на плоскости к другому быть задан системой, матрица которой дана: а) , б) ? Ответ объясните.

1.12. Даны три базиса: E={ e₁,e₂}, E={e₁ ,e₂}, E={e₁ ,e₂}. При этом:

, . Определите систему, задающую: а) переход от базиса E к базису E; б) переход от базиса E к базису E”; в) переход от базиса E к базису E.

1.13. Объясните, почему системы координат, связанные формулами /20/ и /21/ параграфа 1, имеют одинаковую ориентацию, а системы координат, связанные формулами /22/ и /23/ того же параграфа, имеют противоположные ориентации.

1.14. Может ли переход от одного базиса на плоскости к другому быть задан системой, матрица которой дана: а) , б) ? Ответ объясните.

1.15. Даны три базиса: E={ e₁,e₂}, E={e₁ ,e₂}, E={e₁ ,e₂}. При этом:

Определите систему, задающую: а) переход от базиса E к базису E; б) переход от базиса E к базису E”; в) переход от базиса E к базису E.

1.16. Докажите, что отношение одинаковой ориентированности пространственных базисов является отношением эквивалентности, а отношение противоположной ориентированности базисов не является отношением эквивалентности.

Каждое из следующих уравнений (1.17 – 1.22) приведите к каноническому виду и определите, какое множество точек оно задаёт. Напишите формулы перехода от исходной системы координат к той, в которой квадрика имеет каноническое уравнение.

1.17. 3x² + 10 xy + 3y² – 2x – 14у – 13 = 0.

1.18. 25x² – 14xy + 25y² + 64x – 64у – 224 = 0.

1.19. 16x² –24 xy + 9y²–160x + 120 у +425 = 0.

1.20. 9x² +24 xy + 16y² –120x + 90у = 0.

1.21. 9x² – 24 xy + 16y² – 26x + 110у – 50 = 0.

1.22. 9x² + 12 xy + 4y² – 24x – 16у +3 = 0.