§ 5. Аналитическое задание движений плоскости и пространства

п.1. Аналитическое задание движений

Пусть в пространстве задана декартова система координат. Требуется найти аналитическое задание движения пространства, т.е. найти общий вид формул, выражающих координаты любой точки M (x,y,z) через координаты её прообраза M (x,y,z). Такая же задача ставится для движений плоскости.

По теореме 3 существует такая новая декартова система координат *, что одноимённые координаты точки в старой системе  и её образа в новой совпадают. Следовательно, точка M имеет координаты (x,y,z) в системе  и координаты (x,y,z) в системе * Таким образом, задача сводится к выражению старых координат (x, y, z) через новые (x, y, z). Соответствующие формулы имеют вид 20 и 21 § 1:

x=x cos₁ +y cos₂ +z cos₃+a,

y= x cos ₁+ y cos ₂+ z cos₃+b, (1)

z= x cos ₁+y cos₂ +z cos₃ +c,

где матрица преобразования ортогональна.

п.2. Движения плоскости

Для движений плоскости получим два вида формул:

x=x cos - y sin+a,

y= x sin + y cos+b. (2)

и

x=x cos +y sin + a,

y= x sin  - y cos + b. (3)

Теорема 1. Всякое преобразование пространства (плоскости), заданное в декартовых координатах линейными формулами с ортогональной матрицей, является движением.

Доказательство проведём для плоскости.

Пусть дано преобразование

x=a₁ x +a₂ y+ a,

y= b₁ x + b₂ y + b (4)

и выполнены условия:

a₁² + b₁² = 1, a₂² + b₂² = 1, a₁ a₂ +b₁ b₂=0. (5)

Докажем, что для любых двух точек M₁ (x₁,y₁,z₁) M₂ (x₂,y₂,z₂) и их образов M₁ (x₁,y₁,z₁) M₂ (x₂,y₂,z₂) выполняется равенство: M₁M₂ = M₁M₂

Достаточно убедиться, что M₁M₂ ²= M₁M₂ ².

M₁M₂ ²= (x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² = [a₁(x₂ – x₁) +a₂ (y₂-y₁)]² +

+[b₁(x₂ –x₁) +b₂ (y₂-y₁)]² = (a₁² +b₁²) (x₂ –x₁)² + (a₂² +b₂²) (y₂ –y₁)² +

+ 2(a₁a₂+b₁b₂) (x₂ – x₁) (y₂ - y₁).

В силу условий (5) получаем:

M₁M₂ ²= (x₂ -x₁ )² + (y₂ -y₁ )² =M₁M₂ ² .

Чтобы найти движение, обратное данному, нужно из системы, задающей данное движение, выразить (x,y,z) через (x`,y`,z`). Получим систему, задающую обратное движение. Проще всего это можно сделать следующим образом.

Пусть движение f задаётся системой (1). Так как матрица обратного движения транспонированная по отношению к матрице данного, то движение f ^-1 задаётся системой

(6)

где свободные члены пока не определены.

Для их вычисления выберем произвольную точку M₀ (x₀, y₀, z₀) и по формулам (1) найдём её образ M₀ (x₀, y₀, z₀). Подставляя координаты x₀, y₀, z₀, x₀, y₀, z₀ в систему (6), найдём a, b, c .

Удобно в качестве точки M₀ взять точку (0,0,0).Тогда (x₀, y₀, z₀) = (a,b,c),

a = – a₁a – b₁b + c₁c ,

b = – a₂a – b₂b + c₂c , (7)

c = – a₃a – b₃b + c₃c .

Пример 1. Дано движение f: Найдите обратное движение.

Решение. Обратное движение f ^–1 задаётся системой:

Положим (x₀, y₀) = (0,0). Тогда (x₀, y₀) = (-8, 2) и

Обратное движение задаётся системой:

Замечание. Преобразования координат и движения задаются формулами одного вида. Вообще, всякая система равенств вида

x = f(x,y,z),

y = g(x,y,z), (8)

z= h(x,y,z)

может быть истолкована в двух смыслах.

1. Даны две системы  и  . Координаты (x, y, z) всякой точки M в системе  выражаются через её же координаты в системе  формулами (8).

2. Дана система координат. Каждой точке M (x,y,z) сопоставляется точка M с координатами (x,y,z), выраженными формулами (8) в той же системе.

В первом случае формулы (8) определяют преобразование координат, во втором – преобразование пространства.

п.3. Движения первого и второго рода

Движение плоскости (пространства) называется движением I рода, если определитель задающего его преобразования в декартовых координатах положителен (равен 1). Если этот определитель отрицателен, то движение называется движением II рода. Формулы (2) задают движение плоскости I рода, формулы (3) – движение плоскости II рода.

Из определение рода движения следует, что движение I рода не меняет ориентацию системы координат, а движение II рода меняет ориентацию на противоположную.

Непосредственно из определения рода движения получаем следующую теорему.

Теорема 2. Композиция двух движений одного рода есть движение I рода, композиция двух движений разного рода есть движение второго II рода. Движение, обратное данному, есть движение того же рода, что и данное.

Замечание. Нужно доказать, что определение рода движения не зависит от выбора системы координат, в которой это движение задано, т.е. что при переходе к другой системе координат знак определителя не меняется. Это доказательство удобно провести в матричной форме. При этом, поскольку свободные члены не входят в определитель, можно ограничиться рассмотрением однородных преобразований.

Пусть в системе  точке M и её образу M соответствуют координатные столбцы X и X, а движению f – матрица A. Пусть переход от системы  к новой системе определён матрицей B. Координатные столбцы точек M и M в системе обозначим . Тогда сказанное можно записать в виде:

X = AX, (6)

X = B , X=B (7)

Подставляя выражения для X и X из равенств (7) в равенство (6), получим: BX* = ABX*,

то есть

=B^-1 A B , (8)

так как для определителей (A), (B^-1), (B) выполняется равенство:

(B^-1) (A)(B) =(A). (9)

Поэтому определитель в формулах, задающих движения, не зависит от выбора системы координат.