§ 3. Исследование квадрики на плоскости

п.1. Приведение уравнения квадрики к каноническому виду

Определение. Квадрикой на плоскости называется множество точек, заданное в некоторой системе декартовых координат уравнением второй степени, т.е. уравнением вида:

Ax² + 2Bxy + 2Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0 (1)

Обозначения 2B, 2C, 2E введены только потому, что в дальнейшем удобно использовать половины этих коэффициентов.

Легко видеть, что если фигура задана уравнением второй степени в некоторой декартовой системе координат, то она задана уравнением второй степени и в любой декартовой системе координат.

Действительно, так как переход от одной системы координат к другой происходит по линейным формулам вида 20, 21 (§ 1), то в новой системе координат получим алгебраическое уравнение степени не выше второй, т.е. степень уравнения не может повыситься.

Докажем, что его степень не может и понизиться.

Предположим противное. Пусть при переходе от системы координат к системе координат степень уравнения понизилась. Тогда при переходе от системы координат к системе координат должно получиться прежнее уравнение, т.е. степень уравнения повысится, что невозможно.

Задача исследования уравнения состоит в установлении всех фигур, которые могут быть заданы уравнениями вида (1). Путём решения этой задачи является приведение уравнения квадрики к возможно простейшему виду. Это достигается при помощи подбора наиболее удобной системы координат.

Сначала, не меняя начала координат, повернём оси так, чтобы в новой системе уравнение квадрики не содержало произведения новых координат xy. Воспользуемся формулами (14) § 1, выражающими старые координаты (x,y) через новые ( x,y)

x= x cos - y sin ,

y= xsin+ y cos (2)

и запишем уравнение (1) в новой системе координат:

A (xcos - y sin)² +2B (xcos - y sin)( xsin+ y cos)+C(xsin+ycos)² + 2D (x cos - y sin)+ E (x cos - y sin) + F=0.

Собирая коэффициенты при x², xy, y², x, y, получим:

(Acos² +2Bcos sin +C sin² ) x² +2 ((C-A) sin cos + B(cos² - - sin²)) xy + (Asin² -2Bcos sin +C cos²) y² + 2(Dcos+Esin)x + 2(-Dsin +Ecos) + F=0 (3)

Обозначим:

A₁=Acos² +2Bcos sin +C sin²,

B₁= (C-A) sin cos + B(cos² - sin²), (4)

C₁= Asin² -2Bcos sin +C cos²,

D₁= D cos+E sin,

E₁=-Dsin +Ecos.

Таким образом, при повороте осей координат на не определённый угол  уравнение (1) принимает вид

A₁ x ² + 2B₁ xy + 2C₁ y ² + 2D₁ x + 2E₁ y + F = 0 (5)

(Заметим, что при повороте осей координат свободный член F уравнения не изменяется.)

Выберем угол поворота  так, чтобы B₁= 0. Получим тригонометрическое уравнение

(C-A) sin cos + B(cos² - sin²) = 0. (6)

Легко видеть, что если (C-A) sin cos + B(cos² - sin²),является решением уравнения (6), то B = 0 и поворот исходной системы не нужен. Поэтому в дальнейшем мы рассматриваем только такие решения уравнения (6), где cos  0. Разделим почленно уравнение (6) на cos, получим:

B tg² + (A-C) tg  - B =0. (7)

Так как (A-C)² + B² > 0, то уравнение (7) относительно tg имеет вещественное решение. При этом нет необходимости рассматривать все получающиеся значения угла . Достаточно выбрать одно (любое) из них.

В новой системе координат квадрика задаётся уравнением

A₁ x ² + C₁ y ² + 2D₁ x + 2E₁ y + F = 0, (8)

где коэффициенты A₁ ,B_{1 ,}C₁ ,D₁ E₁ выражаются формулами (4).

Так как уравнение (8) есть уравнение второй степени, то хотя бы один из коэффициентов A₁ , C₁ не равен нулю.

Выбор дальнейших преобразований координат зависит от значений коэффициентов уравнения (8).

Рассмотрим возможные случаи.

1. Если A₁≠0 и С₁≠0, то запишем уравнение (8) в следующем виде:

A₁ (x ² +2 ) +C₁ (y ² + 2 ) + F - = 0 или, что то же:

A₁ ( )² +C₁ ( )² = - F (9)

Введём координаты параллельным переносом осей:

, (10)

и обозначим - F = F₁ .

Получим уравнение:

(11)

2. Если A₁ ≠ 0 и С₁=0, E₁≠0, то запишем уравнение (8) в следующем виде:

A₁ ( )² +2E₁ = 0,

или, что то же:

A₁ ( )² +2E₁( ) = 0.

Введём координаты по формулам:

получим в этой системе координат уравнение:

(12)

Заметим, что случай A₁=0 ,С₁≠0 отличается от рассмотренного лишь обозначением координат.

3. Если A₁ ≠ 0 и С₁= E₁=0, то уравнение (8) можно записать в виде:

A₁ ( )² = (13)

Вводя координаты по формулам:

и обозначив = F₁, приведём уравнение (13) к виду:

(14)

п.2. Классификация квадрик

Выясним, что представляет собой квадрика во всех рассмотренных случаях. Не уменьшая общности, можно считать, что A₁ > 0.

1. Если в уравнении (11) A₁, C₁, F₁ не равны нулю и при этом одного знака, то это уравнение можно записать в виде:

Это уравнение задаёт эллипс.

Если в уравнении (11) A₁, C₁, одного знака, а F₁ противоположного и не равно нулю, то это уравнение задаёт пустое множество

Если A₁, C₁ одного знака, а F₁= 0, то уравнение задаёт точку.

Если , то уравнение (11) задаёт гиперболу:

Если , то уравнение (11) задаёт пару пересекающихся прямых

2. Уравнение (12) задаёт параболу.

3. Уравнение (14) при F₁ > 0 задаёт пару параллельных прямых, при F₁ = 0 – прямую, при F₁ < 0 – пустое множество.

Таким образом, квадрика на плоскости может быть:

1) эллипсом, 2) точкой, 3) пустым множеством, 4) гиперболой, 5) парой пересекающихся прямых, 6) параболой, 7)прямой, 8) парой параллельных прямых.