§ 10. Зеркальная симметрия пространства

п.1. Определение и аналитическое задание зеркальной симметрии

Точки A и A′, не лежащие на плоскости, называются симметричными относительно этой плоскости, если отрезок AA′ перпендикулярен плоскости и делится ею пополам. Точка, лежащая на данной плоскости, симметрична себе.

Симметрией пространства относительно плоскости λ (зеркальной симметрией) называется отображение пространства в себя, ставящее в соответствие каждой точке точку, симметричную ей относительно плоскости λ. Зеркальную симметрию относительно плоскости λ будем обозначать S_λ.

Из определения зеркальной симметрии следует: S_λ^-1= S_λ, S_λ S_λ=e.

Так же, как для осевой симметрии плоскости, доказываются следующие теоремы.

Теорема 1. Зеркальная симметрия есть движение.

Теорема 2. Если плоскость λ задана уравнением x = a, то зеркальная симметрия задаётся системой

x′= - x + 2a

y′ = y, (1)

z′ = z.

Отсюда видно, что зеркальная симметрия есть движение II рода. Плоскость λ называется плоскостью симметрии фигуры F, если S_λ(F) = F. Для фигуры, состоящей из двух точек A, B плоскостью симметрии является плоскость, проходящая через середину отрезка AB перпендикулярно ему и всякая плоскость, содержащая точки А и В. Для угла плоскостью симметрии является плоскость, проходящая через его биссектрису перпендикулярно плоскости этого угла, а также плоскость этого угла. Для двугранного угла плоскостью симметрии является биссектральная плоскость и всякая плоскость, перпендикулярная ребру угла. Очевидно, что для любой плоской фигуры плоскостью симметрии является содержащая её плоскость.

п.2. Композиция зеркальных симметрий

Для композиции двух зеркальных симметрий выполняются теоремы, аналогичные теоремам о композиции двух осевых симметрий плоскости. При этом аналогичны не только теоремы, но и их доказательства.

Теорема 3. Композиция двух симметрий относительно параллельных плоскостей есть параллельный перенос на вектор, перпендикулярный этим плоскостям, направленный от первой плоскости ко второй, и длина этого вектора вдвое больше расстояния между плоскостями.

Теорема 4. Композиция двух симметрий относительно пересекающихся плоскостей есть поворот относительно линии их пересечения, направленный от первой плоскости ко второй, на угол, вдвое больший угла между плоскостями.

Доказательства предоставляются читателю.

Теорема 5. Всякое движение пространства есть либо зеркальная симметрия, либо может быть представлена композицией двух, трёх или четырёх зеркальных симметрий.

Доказательство. Пусть движение пространства f переводит положительные полуоси Ox, Oy, Oz декартовой системы координат ω в соответствующие положительные полуоси , , декартовой системы координат ω*. Этим движение f определено однозначно. Дальнейшее рассуждение мало отличается от доказательства теоремы 4 §8. Симметрия S₁ отображает точку O в точку . Образы положительных полуосей Ox, Oy, Oz при этой симметрии обозначим x₁, y₁, z₁. При симметрии относительно биссектральной плоскости угла x₁ полуось x₁ перейдёт в положительную полуось _. Образы полуосей y₁, z₁ обозначим y₂, z₂ . Полуоси y', y₂. перпендикулярны оси , поэтому биссектральная плоскость полуосей, проходит через ось . При симметрии S₃ относительно этой плоскости полуось , переходит в себя, а полуось y₂ – в полуось y. Таким образом, плоскость xOy при композиции S₃ ◦S₂ ◦S₁ перешла в плоскость образ положительно полуоси Oz обозначим z₂. Эта полуось перпендикулярна плоскости , а значит, перейдёт либо в положительную, либо в отрицательную полуось оси . В первом случае f = S₃ ◦S₂ ◦S₁, а во втором – применяя симметрию S₄ относительно плоскости, получим f = S₄ ◦S₃◦ S₂ ◦S₁.

Следствие. Всякое движение пространства I рода представимо композицией чётного числа зеркальных симметрий, всякое движение пространства II рода представимо композицией нечётного числа зеркальных симметрий.