§ 12. Аффинные преобразования плоскости

Движения и преобразования подобия переводят прямые в прямые. Существуют преобразования более общего вида, переводящие прямые в прямые, но не сохраняющие, вообще говоря, ни длин отрезков, ни отношений длин, ни углов. Эти преобразования называются аффинными. При их изучении удобно пользоваться более общими системами координат, чем декартовы.

п.1. Аффинные координаты на плоскости

Пусть O – точка, { } - базис (вообще говоря, не ортонормированный). Для любой точки M радиус-вектор может быть представлен в виде: . Числа x, y называются аффинными координатами точки M в системе координат с началом O и базисом { } (аффинным репером {O , } ).

Аффинные координаты можно определить иным, равносильным образом. Пары точек (O, A), (O,B) определяют координатные оси Ox и Oy. Через произвольную точку M проведём прямые, параллельные осям (рис.14). Эти прямые пересекают оси Ox и OY соответственно в точках M₁ и M₂. Тогда x= ± (знак + берётся в том случае, когда M₁ и O лежат по одну сторону от точки; в противном случае берётся знак «-». Аналогично определяется координата y точки M.

Таким же образом можно ввести аффинные координаты в пространстве.

Теорема 1. Всякая прямая может быть задана в аффинной системе координат линейным уравнением. Всякое линейное уравнение задаёт в аффинной системе координат прямую.

Доказательство. Пусть прямая p проходит через точку M_o (x_o,y_o) и имеет направляющий вектор (m, n). Для того, чтобы точка M(x,y) принадлежала прямой p, необходимо и достаточно, чтобы векторы и были коллинеарны. Это выполняется тогда и только тогда, когда существует такое вещественное число t, что

И, наоборот, при всяком t выполняется равенство (1).

Это равенство равносильно системе

x - x_o = mt,

y - y_o = nt,

Так как – ненулевой вектор, то m²+n² > 0. Пусть m ≠ 0, тогда

и (2)

Таким образом, прямая p задана линейным уравнением.

Докажем второе утверждение теоремы.

Рассмотрим линейное уравнение

Ax +By +C =0, A²+B² > 0 (3)

Пусть B ≠0, тогда уравнение (3) равносильно уравнению

. (4)

Рассмотрим прямую p, проходящую через точку M₀ (0, -C/B) и имеющую направляющий вектор (-B, A) . В силу первой части доказательства она задаётся уравнением вида (3), т.е. уравнением (5). Следовательно, уравнение (4) задаёт прямую.

Нетрудно проверить, что луч задаётся системой вида

Ax +By +C = 0, x ≤ a (x ≥ a),

а отрезок задаётся системой вида

Ax +By +C = 0, a ≤ x ≤ b.

Формулы деления отрезка в данном отношении те же, что и в декартовых координатах, поскольку их вывод не связан с перпендикулярностью осей координат и равенством масштабных отрезков. Легко убедиться, что переход от одной аффинной системы координат к другой происходит при помощи линейных формул с определителем, отличным от нуля. Доказательство, по существу, повторяет рассуждения § 1.

п.2. Определение и простейшие свойства аффинных преобразований

Можно по-разному определять аффинные преобразования. Остановимся на определении, связанном с аффинными координатами. О некоторых других будет сказано дальше.

Пусть на плоскости введены аффинные координаты.

Аффинным преобразованием плоскости называется отображение плоскости в себя, заданное системой вида

x = a₁ x +a₂ y+ a,

y = b₁ x + b₂ y + b (5)

при условии, что

Δ = ≠0. (6)

Замечание. Если в некоторой аффинной системе координат преобразование задано формулами вида (5) при условии (6), то в любой аффинной системе координат оно будет задаваться линейными формулами с определителем, отличным от нуля. Доказательство приведено в замечании к параграфу 4 п.3.

Примеры аффинных преобразований

1. Очевидно, что всякое движение и всякое преобразование подобия являются аффинными преобразованиями.

2. Преобразование, заданное системой

x= x

y= k y, k > 0

называется косым сжатием к оси Ox (рис.15). Если k > 1, то в действительности происходит расширение плоскости, но название «косое сжатие» сохраняется. Если оси координат взаимно перпендикулярны, то преобразование называется просто сжатием к оси Ox. Число k называется коэффициентом сжатия.

3. Преобразование, заданное формулами вида

x= x +k y,

y= y,

называется сдвигом вдоль оси Ox (рис. 16).

Теорема 2. Множество всех аффинных преобразований плоскости есть группа преобразований.

Доказательство. В силу условия (6) всякое преобразование вида (5) обратимо, и обратное является линейным с определителем, отличным от нуля. Композиция двух таких преобразований также линейно, и определитель системы, задающей композицию, не равен нулю.

Фигура F называется аффинно-эквивалентной фигуре F, если существует аффинное преобразование, отображающее фигуру F на фигуру F. Из теоремы 2 следует, что отношение аффинной эквивалентности есть отношение эквивалентности.

Пример. Любые два эллипса аффинно эквивалентны.

Докажем это. Пусть эллипсы E и E имеют полуоси соответственно a, b и a₁, b₁ . Движением можно расположить эллипсы так, чтобы их оси лежали на двух взаимно перпендикулярных прямых. Тогда эллипсы можно задать уравнениями

и

Преобразование

x= x

y= y

отображает эллипс Е на эллипс Е₁.

Теорема 3. Образ любой прямой при всяком аффинном преобразовании есть прямая.

Доказательство. Пусть прямая p задана уравнением

Ax + By+C =0, A² + B² >0, (7)

а аффинное преобразование – системой (5). Тогда, выражая координаты точки через координаты её образа, из системы (5) получим выражения вида x= a₁ x +a₂ y+ a,

y= b₁ x – b₂ y + b (8)

(9)

Образ прямой p задаётся уравнением

(Aa₁+Bb₁)x +(Aa₂+Bb₂)y + Aa+Bb+ C = 0.

Докажем, что оно задаёт прямую, т.е. докажем, что хотя бы один из коэффициентов при x, y отличен от нуля.

Предположим противное. Пусть

Aa₁+Bb₁=0,

Aa₂+Bb₂ = 0.

Тогда, в силу условия (9), получим A = B = 0, что противоречит условию (7).

Теорема 4. При всяком аффинном преобразовании параллельные прямые переходят в параллельные.

Доказательство. Утверждение теоремы следует из теоремы 3 и взаимной однозначности аффинного преобразования.

Следствие. Образ всякого параллелограмма есть параллелограмм.

Теорема 5. При всяком аффинном преобразовании сохраняется отношение отрезков, лежащих на одной или параллельных прямых.

Доказательство. Пусть точки A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃) лежат на прямой, заданной уравнением

y=kx (10)

Их образы при отображении (6) обозначим A(x_1,y₁), B(x₂,y₂), C (x₃,y₃).

Тогда

. (11)

Так как y₂ - y₁ = k (x₂ – x₁ ), y₃ – y₂ = k (x₃ – x₂ ),

то

.

Второе утверждение теоремы легко доказывается с помощью первого и теоремы 4.

п.3. Основная теорема об аффинных преобразованиях