Раздел «эмм и моделирование» (доц. Бугаевская в.В.)

77. Методы математического моделирования

Среди математических методов, применяемых в экономических расчетах, можно выделить некоторые из них, например, численные методы, аналитические методы, математическое программирование, имитационные методы и др.

Математические методы позволяют решать большой круг экономических и землеустроительных задач, связанных с использованием земельных, трудовых, денежных и материальных ресурсов, обоснованием оптимальных вариантов проектов землеустройства, устройства территории.

Аналитические методы описываются соответствующей теорией, например, линейно-дифференциальными, конечно-разностными уравнениями.

Численные методы основаны на реализации формальных процедур с целью получения информации о свойствах этих структур, которую не могли дать аналитические методы, методы приближенного решения математических задач.

Имитационные методы основаны на воспроизведении поведения исследуемого объекта с помощью ЭВМ. Имитационная модель - алгоритмическое описание в виде программы элементов системы и их взаимодействия.

Методами математического программирования решается широкий класс экономико-математических задач, позволяющих найти экстремальное (max, min ) значение целевой функции при ограниченных ресурсах.

Основу экономико-математического моделирования составляет математическое моделирование экономических систем. Как правило, все землеустроительные экономико-математические задачи имеют многовариантный, альтернативный характер, и основной вопрос заключается в том, как из множества допустимых вариантов выбрать наилучший, оптимальный вариант по заданному критерию. Математически такие задачи сводятся к отыскиванию максимумов или минимумов различных функций, т. е. к решению задач на экстремум.

При решении задач на экстремум применяют так называемые методы математического программирования, которые находят широкое применение при решении различных инженерно-экономических задач. Термин «программирование» указывает на тот факт, что эти методы позволяют последовательно находить программы действий, начиная от исходного допустимого плана до наилучшего решения.

Формулировка задачи математического программирования включает целевую функцию вида , которая является зависимостью критерия оптимизации, а именно какого либо обобщенного показателя, в качестве которого может выступать, например, доход, издержки, себестоимость от параметров модели (искомых переменных величин, которые могут принимать различные численные значения). На эти неизвестные налагаются определенные условия, образующие так называемую систему ограничений. Ограничениями служат уравнения или неравенства, построенные в соответствии с логическим содержанием задачи: . Иногда данная система ограничений дополняется другими условиями, например, условиями неотрицательности переменных: . В задаче требуется найти такой набор значений неизвестных, который удовлетворяет системе ограничений и дает целевой функции наибольшее или наименьшее значение.

В зависимости от характера функции и системы ограничений различают линейные и нелинейные задачи математического программирования.

Если система ограничений и целевая функция линейны относительно искомых величин , то имеется задача линейного программирования.

Линейное программирование выражает совокупность приемов, в которых для решения задач количественные зависимости могут быть выражены с помощью линейных уравнений и неравенств с неизвестными в первой степени.

Если же в задаче фигурирует хотя бы одно нелинейное выражение, программирование будет нелинейным.

Нелинейное программирование применяют для решения задач, зависимости в которых выражаются нелинейными целевой функцией и ограничениями и результаты (кривые - гипербола, парабола и др.) при этом возрастают или убывают непропорционально изменению масштабов использования ресурсов.

Математическое программирование объединяет задачи обоих типов.

Имеются и другие классификации задач математического программирования.

Целочисленное программирование используется для решения задач, требующих ответа в целых числах.

К задачам, в которых исходные параметры выражены вполне определенными числами, применимы методы, разработанные для условий полной информации; если же эти параметры случайные величины, - используют методы стохастического программирования.

Задачи, для которых необходимо вычислить экстремум на одном этапе, являются одноэтапными или статическими; многоэтапные задачи требуют применения методов динамического программирования, которое используется для решения задач, в которых переменные рассматриваются в динамике и решение их определяют в зависимости от изменения целевой функции во времени.

Если исходные параметры оптимизационных задач изменяются в некоторых пределах, то их исследуют с помощью методов параметрического программирования.

Если же параметры задач могут принимать лишь ограниченное число дискретных значений (при использовании некоторых стандартов), то применяют методы дискретного программирования.

Кроме названных задач математического программирования в экономических исследованиях широкое применение находят и другие методы количественного анализа (корреляционно-регрессионного, дисперсного и др.), а также методы межотраслевого баланса, основанные на выявлении и количественной оценке взаимосвязей, сложившихся между различными отраслями производства в регионе