8.2.1.2.2 Достоинства и недостатки степенного закона

Достоинством степенного закона (8.27)

является следующее:

• этот закон хорошо описывает кривые течения большого количества неньютоновских жидкостей (красок, буровых растворов, пульп, растворов и расплавов полимеров и др.) в достаточно широких диапазонах (в несколько порядков) изменения скоростей сдвига ;

• запись этого закона включает в себя только два параметра и , т.е. является достаточно простой;

• при степенной закон переходит в закон течения (8.3) ньютоновских жидкостей.

Недостатком степенного закона является то, что из соотношения (8.28) получаются физически нереальные значения кажущейся квазиньютоновской вязкости как при , так и при .

В частности, для псевдопластичных (n < 1) неньютоновских жидкостей из (8.28а) получаем (см. рис. 8.8), что

• при

,

• при

.

Как полное исчезновение вязкости ( ), так и превращение жидкости в твердый гель ( ), предсказываемые соотношением (8.28) либо при , либо при , являются физически нереальными (абсурдными) результатами.

При практическом использовании степенного закона (8.27) следует помнить, что он хорошо описывает поведение (течение) неньютоновских жидкостей в достаточно широком диапазоне скоростей сдвига , однако при очень маленьких и при очень больших скоростях сдвига степенной закон (8.27) применять нельзя, так как он предсказывает абсурдные (физически нереальные) результаты.

8.2.1.2.3 Течение в круглой трубе неньютоновских жидкостей, подчиняющихся степенному закону Оствальда

Прямая краевая задача, позволяющая вычислить профиль скорости установившегося течения неньютоновской жидкости в удаленном от входа в круглую трубу сечении, может быть записана [33] с использованием уравнения движения

, ,

в котором напряжение сдвига на основе степенного закона (реологического уравнения состояния, модели) может быть представлено в виде

.

С учетом того что при стабилизированном течении жидкости в удаленном от входа участке трубы давление зависит только от продольной координаты , а профиль скорости зависит только от радиальной координаты , прямая краевая задача для вычисления искомого профиля скорости течения степенной неньютоновской жидкости записывается в виде уравнения движения

, , (8.29)

с граничными условиями:

• при

; (8.30)

• при

. (8.31)

Преобразуем (8.29) к виду

,

а затем, проинтегрировав левую и правую части последнего выражения

,

получим

или

. (8.29а)

Принимая во внимание граничное условие (8.30), получаем что при

,

откуда следует, что постоянная интегрирования должна быть равна нулю

Преобразуем (8.29а) к виду

.

После интегрирования последнего уравнения в пределах от r до R

получаем

;

.

Из граничного условия (8.31) следует, что . Принимая во внимание (см. п. 8.1.3.1.) что

,

где установившийся перепад давления на участке длиной стабилизированного течения в круглой трубе, формула для вычисления искомого профиля скорости может быть представлена в виде

. (8.32)

Получим формулу для вычисления расхода g степенной неньютоновской жидкости в круглой трубе, обусловленного градиентом давления . Для этого воспользуемся известным соотношением

. (8.33)

Среднюю скорость течения жидкости находим по формуле

. (8.34)

Формулу (8.32) для вычисления профиля скорости течения можно преобразовать к виду

,

откуда с учетом (8.34) получаем

. (8.35)

Видно, что при формула (8.35) переходит в формулу (8.10а), ранее полученную для ньютоновских жидкостей.

Для того чтобы получить зависимость напряжения сдвига в степенной неньютоновской жидкости от радиальной координаты при течении в круглой трубе, воспользуемся (8.32) и сначала вычислим производную

или

.

На основании степенного реологического уравнения состояния (модели, закона), имеющего вид

,

получаем, что напряжение сдвига зависит от радиальной координаты следующим образом

или

. (8.36)

Отметим, что формула (8.36), определяющая зависимость напряжения сдвига от радиальной координаты в ламинарном потоке степенной неньютоновской жидкости при течении в круглой трубе (под действием установившегося перепада давления на участке стабилизированного течения длиной ) совпадает с формулами (8.17) и (8.17а), ранее полученными для ньютоновской жидкости и для вязкопластичной среды Шведова-Бингама.