Примеры решения типовых задач

1. С помощью логарифмического дифференцирования найдите производные следующих функций:

а) б)

Решение. а) Производную функции найдем по следующему плану:

1) Прологарифмируем данную функцию:

2) Найдем производную от

Определим производную данной функции

б) Производную функции с помощью логарифмического дифференцирования находим по указанному плану:

1)

2)

3) .

2. Для функции найдите производные второго и третьего порядков.

Решение. По определению производных высших порядков имеем:

и , т.е. производная второго порядка есть производная от производной первого порядка, а производная 3-го порядка есть производная от производной 2-го порядка. Поэтому последовательно находим:

3. Для данных неявных функций найдите производные первого порядка

а) б)

Решение. а) Дифференцируем по обе части равенства, считая, что есть функция от , получим:

отсюда , или

б) Логарифмируем обе части данного уравнения, затем дифференцируем по , рассматривая как функцию от

отсюда

4. Для функции, заданной параметрически, найдите производную:

Решение. Учитывая, что найдем и

Тогда

Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями

1. Запишите формулу логарифмического дифференцирования.

2. Когда применяется формула логарифмического дифференцирования?

3. Расскажите о дифференцировании показательно-степенной функции.

4. Дайте определение производной второго порядка, производной n-го порядка.

5. Дайте определение неявного задания функции. Приведите примеры.

6. Как от неявного задания перейти к явному заданию функции? Всегда ли это можно сделать. Приведите примеры.

7. Как проводят дифференцирование неявной функции?

8. Расскажите о нахождении производных высших порядков от неявно заданных функций.

9. Дайте определение параметрически заданной функции. Приведите примеры.

10. Расскажите как от параметрического задания функции перейти к явному заданию функции.

11. Запишите формулы для нахождения производных первого и второго порядков от параметрически заданной функции.

Практические задания для развития и контроля владения компетенциями Задания, решаемые в аудитории

1. С помощью логарифмического дифференцирования найдите производные следующих функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2. Найдите производные высших порядков для следующих функций:

а) б)

3. Для данных неявных функций найдите производные первого порядка

а) ; б) .

4. Для функций, заданных параметрически, найдите производные первого и второго порядков

а) б)

Задания для самостоятельной работы дома

1. С помощью логарифмического дифференцирования найдите производные следующих функций:

а) ; б) ; в) ;

г) .

2. Найдите производные высших порядков для следующих функций:

а) б)

3. Для данной неявной функции найдите производные первого и второго порядков .

4. Для функций, заданных параметрически, найдите производные первого и второго порядков

а) б)