Рекомендуемая литература
[1] глава 8 пп. 8.7. - 8.8.
[2] глава VII § 2.
[3] глава 7 § 34, § 38.
[4] часть II занятия 32 – 35.
[5] глава 2 §§ 2.3. – 2.4.
[6] глава 6 § 4.
[7] глава VI § 4.
[8] глава 5 § 15.
Примеры решения типовых задач
Найдите интервалы возрастания и убывания функции
Решение. Функция
определена в интервале
Ее производная
причем
при
и
при
Отсюда следует, что функция
убывает в интервале
и возрастает в интервале
Найдите экстремум функций:
а)
б)
Решение. Согласно правилу исследования функции на экстремум:
находим производную:
.находим критические точки, т.е. внутренние точки области определения функции, в которых
или не существует. Полагая,
,
получим,
Производная
не существует в точках
и
Однако критическими точками являются
только точки
и
:
они лежат внутри области определения
функции
,
и в них эта функция непрерывна. Точки
и
не являются критическими, т.к. не лежат
внутри области определения функции;исследуем критические точки, определяя знак слева и справа от каждой критической точки. Для сокращения вычислений и для наглядности это исследование удобно записывать в виде следующей таблицы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
+ |
0 |
- |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Область определения критическими точками разбиваем на промежутки и заносим эти промежутки и критические точки в первую строку таблицы. Во второй строке помещены знаки производной на каждом из промежутков, которые определяем с помощью любой точки из исследуемого промежутка или применяя метод интервалов. В третьей строке – заключение о поведении функции.
а) Исследуемая функция имеет две точки экстремума:
точку минимума,
где
точку максимума
где
Исследование на экстремум можно было бы провести и с помощью второй производной.
б) Проведем
исследование на экстремум с помощью
второй производной. Для этого найдем
вторую производную и определим ее знак
в критических точках:
отсюда
следует, что
и
- критические точки.
Находим,
,
следовательно,
- точка максимума, где
,
следовательно,
точка минимума, где
3.
Найдите наибольшее и наименьшее значение
функции
на отрезке
Решение.
Найдем критические точки функции, лежащие внутри отрезка :
не существует при
,
но
Таким образом, данная функция имеет одну критическую точку , и эта точка лежит внутри отрезка .
Вычислим значение функции в критической точке и на концах отрезка :
.
Сравнивая все вычисленные значения, выбираем наибольшее и наименьшее:
.
4.
Одна сторона прямоугольного участка
земли примыкает к берегу канала, а три
другие огораживаются забором. Каковы
должны быть размеры этого участка, чтобы
его площадь равнялась
,
а длина забора была наименьшей?
Решение. Для решения такой задачи следует, исходя из ее условия, выбрать переменную и выразить исследуемую величину через эту переменную, а затем найти искомое наименьшее значение полученной функции.
Пусть
ширина участка -
м,
длина -
м, длина
забора
м. Выберем
за независимую переменную
- ширину участка. Так как площадь участка
,
т.е.
,
то отсюда
.
Выразим
,
как функция от
:
,
где
канал
Н
айдем
наименьшее значение
на интервале
.
Найдем критические точки:
в точках
и
,
но только
и других критических точек в этом
интервале нет, т.к. ее производная
существует во всем этом интервале.
Исследуем найденную критическую точку
по знаку второй производной в этой
точке:
отсюда следует, что критическая точка есть точка минимума.
Функция непрерывна в интервале . Поэтому по свойству непрерывных функций единственный минимум функции в интервале совпадает с ее наименьшим значением в этом интервале, т.е.
Следовательно,
длина забора будет наименьшей при ширине
участка
и длине участка
.
5.
Найдите точки перегиба и интервалы
выпуклости и вогнутости функции
Решение. 1.
Ищем точки
,
в которых
или не существует, и которые лежат в
области определения функции:
ни при каких
;
не существует при
2. Исследуем точку
на перегиб, определяя знак
слева и справа от нее. Запишем это
исследование в таблицу:
-
0
+
0
-
2
перегиб
Таким образом,
-
абсцисса точки перегиба кривой:
Эта кривая в интервале
вогнута, а в интервале
- выпукла.
6. Найдите асимптоты следующих функций:
а)
б)
Решение. а)
Область определения данной функции:
Отсюда следует, что
- вертикальная асимптота, т.к.
и
.
Наклонные (невертикальные) асимптоты определяем из условий:
где
и
Таким образом,
- наклонная асимптота.
б)
,
следовательно,
- вертикальная асимптота, так как
,
Следовательно,
-
наклонная асимптота.
7.
Исследуйте функцию
и постройте ее график.
Решение.
1. Найдем область
определения:
.
2. Исследуем функцию на четность: так как область определения функции не симметрична относительно начала координат, то данная функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Исследуем функцию
на периодичность:
ни для какого
,
кроме
,
следовательно, функция не является
периодической.
4. Точки разрыва: .
Определим поведение
функции вблизи точки разрыва слева и
справа:
и
.
5. Найдем точки пересечения с осями координат:
С осью
:
полагаем
,
тогда
,
имеем точку
.
С осью
:
полагаем
,
тогда
,
т.е.
,
имеем точку
.
6. Разбиваем область определения функции точкой пересечения с осью на промежутки. Определим интервалы знакопостоянства функции. Результаты занесем в таблицу:
-
0
-
0
+
+
7. Исследуем поведение функции на бесконечности:
.
8. Найдем асимптоты графика функции:
- вертикальная
асимптота, так как
Наклонную асимптоту
ищем в виде
,
где
.
Таким образом, наклонная асимптота превратилась в горизонтальную .
9. Исследуем функцию на возрастание – убывание и экстремумы.
Найдем первую производную:
Далее ищем
критические точки: так как производная
данной функции существует везде в
области определения функции, то
критические точки определяются только
из условия
- критическая точка.
Критическая точка разбивает область определения функции на промежутки:
Определяем знак производной на каждом из промежутков, результаты заносим в таблицу и делаем вывод о поведении функции и существовании экстремумов.
-
-3
-
0
+
-
min
10. Исследуем функцию на выпуклость-вогнутость и перегибы. Найдем вторую производную:
Ищем точки,
принадлежащие области определения, в
которых
или не существует. Так как вторая
производная существует везде в области
определения, то учитываем только условие
Эта точка разбивает область определения на промежутки:
Определяем знак второй производной на каждом промежутке, результаты заносим в таблицу. Делаем выводы о выпуклости-вогнутости функции в точках перегиба:
-
-6
-
0
+
+
перегиб
11. С помощью проведенного исследования по полученным данным строим график данной функции . Сделайте рисунок самостоятельно в тетради.