Практическое занятие № 16 Тема занятия «Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва и их классификация»
Цель занятия: Введение понятия непрерывность функции, исследование функций на непрерывность.
Организационная форма занятия: семинар - практикум.
Компетенции, формируемые на занятии: ОК-1, ПК-2.
При формировании на занятии названных компетенций специалист должен знать основополагающее понятие математического анализа непрерывной функции; уметь использовать это понятие в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания; владеть техникой исследование функций на наличие точек разрыва.
Вопросы, выносимые на обсуждение
Непрерывность функции в точке.
Непрерывность функции на отрезке.
Точки разрыва и их классификация.
Методические рекомендации
Для подготовки к занятию дома
Прочитайте конспект лекции, соответствующий теме занятия. Запомните основные определения.
Изучите рекомендуемую литературу по вопросам, выносимым на обсуждение.
Найдите ответы на теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями. Подготовьтесь к ответам на эти вопросы на занятии.
Законспектируйте ответы на теоретические задания, которые не содержатся в Вашем конспекте лекции по указанной теме.
Изучите разобранные примеры решения типовых задач и законспектируйте их решение в рабочую тетрадь.
На занятии по указанию преподавателя
Дайте ответы на вопросы из теоретических заданий для развития и контроля владения компетенциями.
В рабочей тетради и на доске решите практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий, решаемых в аудитории.
Решите, предложенный преподавателем, вариант самостоятельной работы №6 по теме «Предел функции» и сдайте выполненную работу на проверку.
Дома закрепите полученные практические умения и навыки, решая практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий для самостоятельной работы дома.
Рекомендуемая литература
[1] глава 7 п. 7.6.
[2] глава VI § 6.
[3] глава 4 § 19.
[4] часть II занятие 20.
[5] глава 1 § 1.3.
[6] глава 4 §§ 7 – 10.
[7] глава IV §§ 8 – 13.
[8] глава 4 §§ 7 – 10.
Примеры решения типовых задач
Для функции
найдите приращение функции
в
точке
,
если приращение аргумента
.
Решение. По определению приращения функции имеем:
.
Будет ли непрерывной функция
в
точках 1; 2; 0?
Решение. Так
как
,
то по теореме о непрерывности элементарной
функции данная функция в точках x=0
и x=1
терпит разрыв.
Покажем, что эта
функция непрерывна в точке х=2. Вспомним,
что функция непрерывна в точке, если
бесконечно малому приращению аргумента
в этой точке соответствует бесконечно
малое приращение функции, т.е.
.
Зададим в точке
приращение
.
Найдем приращение функции
;
;
.
Тогда
.
Найдем
.
Следовательно, функция f(х) непрерывна в точке х=2.
Определите точки разрыва функции
Решение. Функция определена на всей числовой прямой, однако элементарной она не является. Исходя из задания функции, в качестве точек разрыва могут выступать лишь точки х=-1 и х=2. Здесь удобно проверить следующее условие непрерывности функции в точке:
.
Имеем,
,
,
.
Таким образом
,
следовательно, функция f(x)
непрерывна в точке х=-1.
Проверим условие непрерывности функции в точке х=2:
,
.
Так как уже
,
то функция f(х)
разрывна в точке х=2.
Нетрудно построить график этой функции, показывающий поведение функции в точках х=-1 и х=2.
Для следующих функций определите характер точек разрыва:
а)
, б)
.
Решение. а) Данная функция может иметь разрыв только в точке х=-1. Исследуем эту точку:
,
.
Так как
и оба предела конечные, то в точке
функция имеет разрыв 1-го рода.
б) Так как
,
то х=1 - точка разрыва. Определим ее
характер:
,
следовательно, в точке х=1 функция терпит
разрыв 2-го рода.