1.3Определение параметров типовых динамических звеньев по их частотным характеристикам
Линейная система автоматического управления, отдельное звено или элемент могут быть описаны дифференциальным уравнением, связывающим выходную координату с входной:
|
|
(1.15) |
где х(t) и y(t) – входной и выходной сигналы.
Если предположить, что на вход рассматриваемой системы (звена) подан синусоидальный сигнал y(t) с частотой , то на выходе устойчивой системы по истечении достаточно большого промежутка времени после затухания свободных составляющих процесса установится периодическое движение той же частоты , но с другими амплитудами и фазой.
При постоянной амплитуде входного сигнала амплитуда А и фаза выходного сигнала в линейной системе определяются лишь частотой входного сигнала, т.е. А = А() и = ().
Выразим гармонические функции х(t) и y(t) в комплексной форме:
|
|
(1.16) |
Подставляя уравнения ( 1 .15) в ( 1 .14), получим:
|
|
|
Из уравнения ( 1 .16)
|
|
|
Обозначая правую часть через W(j) и, проводя сокращение в левой части на e jt, будем иметь:
|
|
(1.17) |
Комплексная
функция частоты W(j)
называется частотной амплитудно–фазовой
характеристикой (АФК) (комплексным
коэффициентом передачи, частотной
передаточной функцией). Модуль АФК равен
отношению
амплитуды выходной координаты у к
амплитуде воздействия х и является
амплитудно–частотной характеристикой
А(). Он показывает
зависимость изменения амплитуды
выходного сигнала от частоты входного.
Аргумент ()
показывает сдвиг по фазе выходного
сигнала относительно входного и служит
фазо–частотной характеристикой.
Частотной АФХ системы называется отношение преобразования Фурье выходной величины к преобразованию Фурье входной величины.
Таким образом, если заданы амплитуда А0 и частота входного сигнала, то с помощью АФХ легко найти амплитуду А и фазу установившегося периодического изменения выходной величины хвых. Если дифференциальное уравнение системы задано, то функция W(j) определяется по формуле:
|
|
|
где
Освобождаясь от мнимой части в знаменателе, получаем:
|
|
|
.Величины Р() и Q() называются соответственно вещественной и мнимой частотными характеристиками систем:
|
|
(1.18) |
;
Модуль и фаза частотной характеристики определяются следующим образом:
|
|
|
АФХ можно построить, зная ее аналитическое выражение по формулам ( 1 .17) или ( 1 .18) и задавая различные значения . Для реальных систем и звеньев ее можно также представить экспериментально, задавая на входе звена гармонический сигнал постоянной амплитуды и различной частоты.
Для каждого значения частоты отношение выходной амплитуды к входной будет значением модуля W(j). Фаза выходного сигнала относительно входного измеряется фазометром. Для ряда значений А() и () можно построить годограф частотной характеристики, т.е. траекторию конца вектора W(j).
Амплитудную и фазовую частотные характеристики удобно строить в логарифмическом масштабе, что значительно упрощает как вычисление, так и построение характеристик особенно для сложных систем, состоящих из последовательного соединения простых звеньев. Логарифмический масштаб позволяет упрощенно изображать амплитудные частотные характеристики в виде асимптотических логарифмических характеристики (ЛАХ), представляющих собой совокупность отрезков ломаных линий.
По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе. За единицу длины по оси абсцисс принимают логарифмические единицы – октаву или декаду. Отрезок оси lg(), равный одной октаве, соответствует удвоению частоты; отрезок в одну декаду – изменению в десять раз.
По оси ординат для фазовой характеристики откладываются градусы, а для амплитудной – децибелы (величина 20·lg(А())).