1.4.1Определение условий устойчивости системы автоматического управления

При исследовании САУ важно не только установить, устойчива система или нет, но и определить граничные значения параметров управляющего устройства (параметры объекта управления считаются неизменными), при которых сохраняется устойчивость системы, наметить пути устранения неустойчивости.

При исследовании устойчивости линейных систем широко используется алгебраический критерий устойчивости Гурвица, представляющий собой формулировку необходимых и достаточных условий, которым должны удовлетворять определенные соотношения между коэффициентами характеристического уравнения САУ:

Условия устойчивости, вытекающие из критерия Гурвица для системы с характеристическими уравнениями второй и третьей степени,_{имеют вид:}

для n=2

;

(1.20)

для n=3

;

(1.21)

.

(1.22)

В общем виде характеристическое уравнение исследуемой замкнутой системы имеет вид:

.

Определим условия устойчивости САУ при различных типах регуляторов. Запишем характеристическое уравнение системы с ПИ–регулятором:

.

Поскольку все параметры положительны, то необходимое условие устойчивости - положительность всех коэффициентов ( 1 .21) - выполнено для всех типов регуляторов. Если коэффициент передачи выбран заранее (например, из условий технической реализации регуляторов), то для обеспечения устойчивости системы требуется подобрать постоянную времени интегратора Т_и из условия ( 1 .22):

(1.23)

Получим условия устойчивости при использовании И–регулятора. Характеристическое уравнение в этом случае будет иметь вид:

.

Область возможных значений постоянной времени интегратора определится неравенством

(1.24)

Из сопоставления неравенств ( 1 .23) и ( 1 .24) следует, что для системы с ПИ–регулятором данные условия являются менее жесткими, т.е. постоянная времени интегратора может изменяться в более широких пределах при сохранении устойчивости.

При включении П–регулятора характеристическое уравнение системы имеет второй порядок, и согласно критерию Гурвица ( 1 .20) система устойчива при любых значениях параметров.

Следовательно, с точки зрения устойчивости, система с объектом второго порядка с П–регулятором имеет предпочтение перед системами с И‑ и ПИ‑регуляторами, которые, повышая порядок системы, ограничивают область устойчивости.

1.4.2Анализ точности системы автоматического управления

Одним из показателей качества САУ является точность, которая определяется величиной ошибки e(t) в различных режимах работы системы, Однако из-за сложности определения e(t) в любой момент времени точность принято оценивать по величине установившейся ошибки

Поведение системы изучается при подаче управляющего воздействия g(t) = g₀ 1(t), изображение которого:

(1.25)

Определение установившейся ошибки:

Установившаяся ошибка системы согласно теореме о конечном значении преобразования Лапласа вычисляется по формуле:

(1.26)

где ;

– передаточная функция системы относительно ошибки.

(1.27)

Подставляя ( 1 .27) в ( 1 .26) и учитывая ( 1 .25) найдем выражение для установившейся ошибки:

(1.28)

В зависимости от наличия установившейся ошибки в системе различают статические и астатические САУ.

Статическими называют такие САУ, в которых регулируемая величина при различных постоянных внешних воздействиях на объект принимает по окончании переходного процесса различные значения, зависящие от величины внешнего воздействия.

Астатическими называют такие САУ, в которых при различных постоянных значениях внешнего воздействия на объект управления отклонение регулируемой величины от требуемого значения по окончании переходного процесса становится равным нулю.

Для астатической системы передаточную функцию всегда можно представить в виде:

,

где 1,2,… порядок астатизма системы (число нулевых корней), а W^*(p) не содержит нулевых корней.

Вычислим установившуюся ошибку для объекта, заданного выражением ( 1 .19)( 1 .19) и регуляторов:

• для ПИ–регулятора

  ;

• для И–регулятора

  ;

• для П–регулятора

Подставив выражения передаточных функций в ( 1 .24), получим е_уст для различных регуляторов:

Для ПИ– и И–регулятора

,

то есть система астатическая.

Для П–регулятора

.

Следовательно, при ступенчатом воздействии система является астатической, если ее передаточная функция содержит хотя бы одно интегрирующее звено. Поэтому с точки зрения точности системы с И‑ и ПИ‑регуляторами предпочтительнее системы с П–регулятором.

Таким образом, требования к САУ по устойчивости и точности противоречивы. Задачей синтеза САУ является выбор таких параметров, которые при выполнении условий устойчивости обеспечивали бы заданную точность системы.