12. Спрос на страхование.

Страхование – процедура, позволяющая субъекту обменять риск больших потерь на определенностьмалых.

Итак, предположим, что первоначально потребитель располагал суммой W₀.

С вероятностью он может понести потери (losses) L. С тем, чтобы обезопасить себя от них он может приобрести страховку, согласно которой в случае возникновения этих потерь ему будет выплачено страховое покрытие сумма q в том случае, если в качестве платы за страховку будет внесена сумма pq, где p<1

_Wb = W₀ - pq - L + q

W_g = W₀ - pq

Рис.2.19.

На рисунке видно, гарантированное получение математического ожидания выигрыша u(EW^R ) превысит ожидаемую полезность игры:

u(EW^R ) > Eu ^R .

Итак, на какую сумму застрахуется потребитель, стремящийся к максимизации ожидаемой полезности ?

max_q U(L) = u (W₀ - L - pq + q) + (1 - ) u( W₀ - pq )

Выпишем условие первого порядка, для чего приравняем нулю производную ожидаемой полезности индивида по q

F.O.C. u '(W₀ - L+ q*(1-p))(1- p) + (1- )u '(W₀ - pq*)(- p) = 0

(1 - )u '(W₀ - pq*) / u '(W₀ - L+ q*(1-p)) =

Графически это может интерпретироваться совпадение (тангенсов) углов наклона

бюджетной линии

=

и кривой безразличия

MRS =

Наклон бюджетной линии .

Предположим, что индивид застраховался, внеся платеж pq, дающий ему ( в случае наступления страхового случая) право на получение q .

Рис.2.20.

Рассмотрим подробно прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является бюджетная линия и определим тангенс угла ее наклона

Рg / Р_b = АC/ СB = [(W₀ - L - pq + q ) - (W₀ - L)]/ [W₀ - (W₀ - p q)] =

= (q - pq)/ p q =

p - цена одного доллара в плохие(bad) времена или Р_b

(1 - p) - цена одного доллара в хорошие(good) времена или Рg

Тангенс угла наклона бюджетной линии Рg /Р_b показывает, в каком соотношении потребитель может на рынке страховых услуг поменять доллар в хорошие времена на доллар в плохие.

Если, к примеру, Р_b = p = 0.2, а Рg = (1 - p) = 0.8 то, сокращение потребления на 1 доллар "в хорошие времена" позволяет увеличить потребление на 4 доллара - "в плохие".

Уровень платы за страховку p, устанавливаемый страховой компанией.

Если страховой случай не произойдет, то прибыль страховой компании составит pq,

если он все же наступит, то с учетом предстоящей выплаты страховки прибыль страховщика сократится до (pq - q) . Определим математическое ожидание прибыли страховой компании : (1- )pq + (pq - q)

а) Если рынок страхования конкурентен то, долгосрочная ожидаемая прибыль страховой фирмы должна быть равна нулю:

(1- )pq + ( pq - q) = 0

что, как несложно убедиться, раскрыв скобки, предполагает совпадение уровня платы за страховку с вероятностью наступления страхового случая: p = .

Таким образом, введение в модель предположения о справедливости страхового рынка имеет своим следствием установление в ней платы за страховку, равной вероятности наступления страхового случая .В подобном случае, т.е. при p = , линия постоянного математического ожидания выигрыша, наклон которой равен (1- )/ совпадает с бюджетной линией, наклон которой - (1-p)/р.

Условие первого порядка может быть приведено к следующему виду

= 1

и, соответственно, , откуда следует, что

W_b = Wg W₀ - L+ q^*(1-p)= W₀ - p q^* q^*= L

Вывод: не склоненный к риску потребитель, для которого MRS будет убывать, на справедливом рынке страхования будет стремиться застраховать полную величину своих возможных потерь: q^*= L , причем в качестве платы за страховку он будет вносить денежную сумму, равную по своей величине лишь справедливой премии.

Из последнего с очевидностью следует, что уровень ожидаемой полезности застрахованного индивида будет выше, чем индивида незастрахованного.

Рис.2.21.

Максимально индивид готов заплатить за страховку r^*+ r , но на справедливом рынке страхования он может обеспечить полное покрытие потерь, внеся в виде платы за страховой полис всего лишь денежную сумму, равную справедливой премии r^*.

б). Ситуация кардинально меняется в том случае, если рынок страхования полагается неконкурентным (несправедливым) и стоимость страхования превышает вероятность наступления страхового случая, т.е. p > . В подобном случае

< 1,

и, следовательно, оптимум достигается в точке, где

Wg > Wb W₀ - pq^* > W₀ - pq^*- L + q^* q^*< L (см. рис.2.22.а)

При несправедливом( неблагоприятном) страховом рынке индивид, стремящийся полностью застраховать свои потери, будет вынужден внести сумму, превышающую справедливую премию( fair premium )

r^* = W₀ - E(W).

Cоответственно, отнюдь не очевидным становится выбор им варианта полного страхования, ранее основывающийся на том, что не склонный к риску индивид, должен был заведомо предпочесть справедливой игре гарантированное получение математического ожидания выигрыша. Поскольку в данном случае индивид, стремясь застраховаться полностью, будет в итоге гарантированно располагать суммой, меньшей E(W), он страхует лишь часть своих возможных потерь, заключая договор частичного страхования, т.е. берет часть риска на себя. Рис. 2.22.б иллюстрирует предпочтительность такого решения по сравнению с выбором варианта страхования, предполагающего полное покрытие возможных потерь.

Рис.2.22.а

Рис.2.22.б

Кстати говоря, неравенство платы за страховку вероятности наступления страхового случая может быть порождено не только неконкурентным характером рынка страхования, но и вполне естественными (в том числе и на конкурентном рынке) различиями в оценке вероятности наступления страхового случая у двух сторон, заключающих договор. Даже полагая рынок конкурентным, мы в этом случае не столкнёмся с контрактами полного страхования. Страховая компания в этом случае назначает плату за страховку p , руководствуясь своей оценкой вероятности наступления страхового случая, в то время как агент, покупающий страховку выбирает тот или иной объем погашения q^* , основываясь на собственных представлениях о уровне  . Причем в зависимости от того, как соотносятся эти оценки вероятности наступления страхового случая, речь пойдет либо о неполном, либо о избыточном страховании.

Рис.2.23.а Hеполное страхованиe: p >

Рис.2.23.б  Избыточное страхование:  p <

Собственно, это замечание есть лишь небольшой фрагмент весьма обширной темы, посвященной обсуждению объективных и субъективных вероятностей. Следуя Найту, часто проводят грань между ситуациями риска и неопределенности именно по этой линии, разделяющей вероятности объективные(падение монеты той или иной стороной) и субъективные( возможность резкого падения курса рубля по отношению к доллару). Впрочем, не лишена резона мысль о том, что даже в простейшем случае, когда речь идет о бросании монеты, индивид может присваивать выпадению той или иной ее стороны вероятности не равные 1/2 , если он допускает возможность обмана, не говоря уже о статистических данных, которые могут интерпретироваться весьма и весьма различным образом. Например, если даже точно известна средняя вероятность рождения ребенка того или иного пола, индивид может весьма существенно корректировать ее применительно к конкретной ситуации. Иначе говоря, как правило мы имеем дело с вероятностями субъективными, а, соответственно, типичными являются несовпадения оценок вероятности того или иного события, даваемые разными агентами.

Сравнительная статика.

Каким образом скажется на выборе потребителя(его спросе на страхование) изменения

А. в вероятности наступления страхового случая;

В. в степени несклонности индивида к риску ;

С. в уровне первоначального богатства ;

D. в уровне платы за страховку.

A. Последствия изменения вероятности наступления страхового случая.

Как повлияет на вид кривых безразличия и выбор индивида повышение вероятности наступления страхового случая ?

Несложно догадаться, что при повышении вероятности наступления страхового случая наклон кривых безразличия станет более пологим ( < 0 ).

(Формально : возьмем частную производную предельной нормы замещения MRS = по :  = (- ) < 0 ) . Это (при сохранении платы за страховку) должно привести у увеличению спроса на страхование.

Рис.2.24

Этим утверждением мы и ограничимся, но следует иметь в виду, что изучение контрактов, заключаемых на рынке страхования в условиях информационной асимметрии (т.е. отсутствия у страховой компании информации о вероятности наступления страхового случая у данного индивида) сопровождается сходными рисунками, в которых различная вероятность наступления страхового случая (высокая - H или низкая - L ) приписывается агентам различного типа.

В. Изменение степени несклонности к риску.

Повышение степени несклонности индивида к риску, как уже отмечалось усилит степень кривизны кривых безразличия, а , соответственно, и величину спроса на

страхование.

Рис.2.25.а

Рис.2.25.б

Собственно, определение абсолютной степени несклонности к риску построено как раз на основании оценки готовности индивидов платить за страховку . Как уже отмечалось при несклонности индивида к риску и незначительности выигрышей в справедливой игре абсолютная мера Арроу-Пратта пропорциональна тому количеству денег, которое человек готов максимально заплатить за страховку: индивид 1 будет более несклонным к риску, чем индивид 2 тогда и только тогда, когда для любого распределения выигрышей F сумма, которую максимально готов заплатить за страховку индивид 1 - больше.

R_A¹(W) ≥ R_A²(W) r¹_F ≥r²_F для любого распределения выигрышей F.

С. Изменения в уровне первоначального богатства.

1) Добавление некоторой суммы( некой случайной величины, имеющей распределение F )к исходному богатству(при сохранении величины возможных потерь)приведет к изменению первоначально наделенности и сдвигу исходной точки к северо-востоку по линии, имеющей наклон 45 градусов. Воздействие этого сдвига на величину спроса индивида на страхование обусловлено тем, каким образом меняется вдоль этой кривой предельная норма замещения. Определить этодовольно просто, воспользовавшись ранее уже полученным выражением для MRS / W_g и учтя, что при движении вправо вверх под углом в 45 градусов = 1 . Итак

= ( ) {( - } =

= { } = MRS [ R_A (W_b) - R_A (Wg) ]

рис. 2.26

При постоянстве меры абсолютной несклонности к риску (САRA) MRS / W_g = 0,

и величина r не зависит от уровня первоначального богатства W₀ , т.е. для индивида с постоянной степенью несклонности к риску страховая премия, которую он готов будет отдать за избавление от риска (например, возможной потери $ 50 ), будет независима от величины W₀: оказавшись в рискованной ситуации индивид будет страховаться одинаково , обладая как $ 100 , так и $ 100 000. Разумеется, при столь значительном варьировании уровня богатства, гипотеза о постоянстве абсолютной несклонности к риску выглядит малоубедительной, но при относительно небольших колебаниях в уровне богатства, она может служить вполне правдоподобной упрощающей предпосылкой.

рис. 2.27.а Возрастающая абсолютная несклонность к риску: < 0

рис. 2.27.б Снижающаяся абсолютная несклонность к риску : > 0

Для заметных изменений в уровне первоначального богатства, впрочем, она будет недостаточно корректна. В подобном случае более реалистичной предпосылкой будет предположение о готовности индивида отдать в качестве платы за страховку тем меньшую сумму, чем больше уровень W₀ , т.е. снижение R_A с ростом богатства . Оно будет выполняться, в частности, при принятии гипотезы о том, что в качестве функции полезности может быть использована логарифмическая функция u(W)= ln (W), для которой R_A(W)= - (- W^-2)/ W^-1 =

2) Уровень богатства в "плохом" состоянии составляет некую долю от уровня богатства в "хорошем состоянии": W_b = k W_g = k =

Определим, каким образом меняется наклон кривых безразличия при движении вправо вверх по исходящему из начала координат лучу, тангенс угла наклона которого равен k . Итак

Итак, индивид, функция полезности которого характеризуется постоянством относительной меры несклонности к риску всегда будет готов пожертвовать одной и той же долей ожидаемого выигрыша(т.е. мультипликативной рисковой премией), сталкиваясь с риском в форме k W₀ , где W₀ является величиной фиксированной, а k - не зависящей от W₀ случайной величиной , с заданной вероятностью распределения F.

рис. 2.28.а Постоянная относительная несклонность к риску

рис. 2.28.б Убывающая относительная несклонность к риску

Если относительная несклонность индивида к риску возрастает, то по мере роста W₀ возрастает и мультипликативная страховая премия, т.е. R_R(W) есть возрастающая функция от W. Принято полагать, что при значительных изменениях в уровне располагаемого богатства возрастающая относительная несклонность к риску представляет собой наиболее реалистичный случай, подтверждением чему, кстати говоря, может служить распространенность различного рода лотерей преимущественно в бедных странах(при незначительных - можно ограничиться гипотезой постоянства относительной несклонности к риску ) .

Кстати, ситуации, анализ которых упрощает введение относительной меры несклонности к риску, часто возникают в реальности. Например, доход на инвестиции(вклад) может зависеть от размера вклада, а при падении курса акций происходит потеря определенной доли богатства.

D. Изменение уровня платы за страховку.

Изменение платы за страховку, т.е. p , приведет к изменению в спросе на страхование, которое можно анализировать, как это традиционно и делается при анализе выбора потребителя, выделяя эффект замещения (АВ) и эффект дохода (ВС).

рис. 2.29.а Эффект дохода равен нулю.

рис. 2.29.б Эффект дохода положителен.

Различие состоит лишь в том, каким образом определяется эффект дохода. Он будет нулевым, в том случае, если кривая ВС будет параллельна линии уверенности, положителен - в случае убывающей абсолютной несклонности индивида к риску и отрицательным - при ее возрастании.