11. Мера абсолютной несклонности к риску Арроу-Пратта. Cara-функции.

Мера абсолютной несклонности к риску Арроу-Пратта.

Вторая производная функции полезности, характеризующая степень кривизны графика функции полезности Бернулли, представляется естественным кандидатом на роль индикатора степени несклонности к риску. Однако несмотря на то, что вторая производная (точнее ее знак)обеспечивает нас весьма полезной информацией о склонности, либо несклонности индивида к риску, ее нельзя использовать в качестве количественной меры, позволяющей сравнивать различных индивидов с точки зрения их отношения к риску(в частности, степени несклонности к риску). Причина этого коренится в единственности этой кардиналистской функции с точностью до аффинного преобразования, и вытекающей из этого обстоятельства произвольности значения второй производной. Впрочем, эта проблема может быть обойдена за счет введения нормирующего множителя. Весьма естественным решением является использование в качестве подобного нормирующего множителя величины, обратной первой производной. Такого рода показатель получил название меры абсолютной несклонности к риску Арроу-Пратта( Arrow-Pratt index of absolute risk aversion). Эта наиболее часто используемая мера несклонности к риску, названная по именам экономистов, независимо друг от друга разработавших ее в 1960-х годах, представляет собой дробь в числителе которой стоит вторая, а в знаменателе - первая производная функции полезности, взятую с обратным знаком. Знак "минус" добавляется с тем, что этот показатель несклонности индивида к риску был тем больше, чем менее индивид к нему склонен, т.е. был возрастающим по степени несклонности к риску.

R_A(W) = - u "(W)/ u '(W) = - d ln u '(W)/ dW

абсолютная мера несклонности к риску Арроу-Пратта

(функция полезности всегда возрастающая по W u '(W)> 0)

risk-averse u "(W)< 0 R_A(W) > 0

risk-lover u "(W) > 0 R_A(W) < 0

risk-neutral u "(W) = 0 R_A(W) = 0

Выбор именно отношения - u "(W)/ u '(W) в качестве меры абсолютной несклонности к риску был обусловлен, в первую очередь, тем обстоятельством, что для игр с незначительными выигрышами оно пропорционально тому количеству денег, которое в справедливой игре несклонный к риску индивид готов максимально заплатить за страховку , т.е. величине рисковой премии.

Итак, при несклонности индивида к риску абсолютная мера Арроу-Пратта пропорциональна рисковой премии, т.е. тому количеству денег, которое индивид готов максимально отдать за возможность не участвовать в справедливой игре. Соответственно, индивид 1 будет более несклонным к риску, чем индивид 2 тогда и только тогда, когда для любого распределения выигрышей F сумма, которую максимально готов заплатить за страховку индивид 1 - больше.

R_A¹(W) ≥ R_A²(W) Û r¹_F ≥ ?r²_F для любого распределения выигрышей F.

Поскольку размеры платы за страховку в реальной жизни наблюдаемы , то это дает информацию и о степени склонности к риску отдельных лиц и позволяет сравнивать между собой эти коэффициенты у отдельных групп людей, оценивая, таким образом, их склонность к риску.

При рассмотрении поведения индивида, не склонного к риску, принципиально важным является вопрос о том, возрастает или убывает абсолютная мера Арроу-Пратта по мере роста богатства. Можно предположить, что с ростом богатства готовность платить за страховку сокращается, т.к. снижающаяся предельная полезность денег делает возможные потери менее ощутимыми. Но это может быть неверным, т.к. и возможный выигрыш также становится менее ощутимым. Таким образом, конечный результат малопредсказуем и там, где это возможно, целесообразно абстрагироваться от воздействия уровня богатства на степень несклонности индивида к риску, полагая ее неизменной.

В этой связи уместно обратиться к рассмотрению часто используемых в экономическом анализе так называемых функций полезности CARA (Constant Absolute Risk Аversion utility functions) , для которых изменение уровня богатства не оказывает влияние на готовность индивида платить за страхование, т.е. размер рисковой премии не зависит от величины W.

Функции полезности с постоянной абсолютной степенью несклонности к риску(CARA).

R_A = - u ''(W)/ u '(W) = const u ''(W)/ u '(W) = - R_A

Для того, чтобы вывести вид функций полезности, характеризуемых этим свойством, решим соответствующее дифференциальное уравнение или же просто проинтегрируем это уравнение дважды. Результат первого интегрирования:

l n u '(W)= C₁ - R_A W u '(W)= exp (C₁ - R_A W), где C₁ - константа интегрирования

Результат второго интегрирования:

u (W) = C₂ - R_A^-1 еxp ( k₁ - R_A W)

Обозначим а = C₂ ; _{b =} R_A ^-1еxp C₁ .

Итак, функции полезности u (W)= а - b еxp ( - R_A W) описывают предпочтения индивида с постоянной абсолютной несклонностью к риску. Cобственно, поскольку эта кардиналистская функция полезности единственна с точностью до аффинного преобразования, константы могут быть опущены, и тогда u (W)= - еxp ( - R_A W) .

Мера относительной несклонности к риску Арроу-Пратта.

Собственно, вопрос о степени несклонности индивида к риску может анализироваться и под несколько иным углом зрения. А именно - не с позиций различий в величине денежной суммы, которую индивид готов истратить на покупку страховки , а с точки зрения того, как меняется доля средств, которую индивид максимально готов выделить на оплату страховки. В подобном случае уместно говорить, не об абсолютной, а о относительной несклонности индивида к риску. Мера относительной несклонности к риску рассчитывается на основе абсолютной мерой несклонности к риску в соответствии со следующей формулой:

R_R(W)= W R_A(W)

1) Функции полезности с постоянной относительной несклонностью к риску

(сonstant relative risk aversion - CRRA)

Как правило, люди менее склонны к риску , чем это предполагается логарифмической функцией полезности u(W) = ln (W) , для которой

R_A(W) = ,

хотя во многих случаях она обеспечивает приемлемое приближение. В свете этого правдоподобным является предположение, что

R_R(W) = W R_A(W) ≈ const

(во всяком случае для небольших изменений в W)

Для того, чтобы получить общий вид функций CRRА, воспользуемся ранее опробованным приемом, т.е. выпишем коэффициент относительной несклонности к риску, и полагая его равным некоторой константе, проинтегрируем дважды, после чего, учтя единственность функции с точностью до афинного преобразования, получим

^{u (}W)= - W ^{- R}R⁺¹

Функции  САRA и CRRA в совокупности образуют класс HАRA(hyperbolic absolute risk aversion) функций или LRT (linear risk tolerance)функций, примечательных тем, что для индивидов, чьи вероятностные ожидания совпадают, а функции полезности принадлежат к одному(точнее - одному и тому же) из подклассов этого класса функции(их всего три - экспоненциальные(САRA) , степенные(СRRA) и логарифмические функции(СRRA)), парето - оптимальные контракты будут линейными(подробнее об этом будет сказано ниже).

u (W) = - еxp ( - R_A W)

u (W) = - W ^{- R}R⁺¹

u (W) = ln W