7. Теорема ожидаемой полезности Неймана-Моргенштерна и результаты ее тестирования.

Привычные аксиомы потребительского выбора, лишь несколько модифицированные применительно к рассматриваемым ситуациям неопределенности.

Мы будем полагать, что предпочтения индивида на пространстве простых лотерей L асимметричны и негативно транзитивны.

Во многом мы повторим традиционные аксиомы анализа поведения потребителя, когда будем говорить о том, что

- объекты выбора (в данном случае лотереи) должны быть четко определены;

-ситуации с одними и теми же исходами должны вести к одинаковым решениям;

- индивид должен быть в состоянии произвести анализ имеющихся альтернатив;

-предпочтения относительно лотерей должны быть транзитивны, локально ненасыщаемы и т.д.

Особое положение в перечне исходных аксиом занимает аксиома непрерывности предпочтений индивида относительно простых лотерей.

- аксиома независимости (линейность ожидаемой полезности по вероятностям) формализует принцип некомплементарности дохода, получаемого при различных исходах (principle of nоn-complementarity of income over the states of the world) или, иными словами, независимость уровня полезности, получаемого индивидом при том или ином (например, первом, т.е. х₁ ) исходе лотереи

_р о х₁ (1 - р) о х₂

от того, каким мог быть иной исход, т.е. х₂ .

Предположим, что речь идет о сложной лотерее, в которой с вероятностью (1 - а) можно выиграть лотерею L₃ , а с вероятностью а оказаться вновь перед выбором между лотереей L₁ и лотереей L₂ .

Принятие аксиомы независимости обусловливает выбор между сложными лотереями

а о L₁ (1 - а) о L₃ и а о L₂ (1 - а) о L₃

выбором между L₁ и L₂ :

_L1 L₂ а о L₁ (1 - а) о L₃ > а о L₂ (1 - а) о L₃

L₁ ~ L₂ а о L₁ (1 - а) о L₃ ~ а о L₂ (1 - а) о L₃

Иначе говоря, при изолированном "смешении " исходных простых лотерей L₁ и L₂ с третьей лотерей L₃ в определенной "пропорции", задаваемой вероятностью а, порядок ранжирования этих "смесей" соответствует порядку ранжирования исходных лотерей, и не зависит от того, что собой представляет эта третья лотерея. В противном случае - если бы характер лотереи L₃ влиял бы на порядок ранжирования "смешанных" лотерей, то можно было бы говорить о существовании комплементарного эффекта.

Теорема Неймана-Моргенштерна.

Если выполняются ранее изложенные предпосылки, то существует функция полезности, удовлетворяющая свойству ожидаемой полезности:

U(L) = Eu(L) = _i p_i u(x_i )

и L₁ L₂ тогда и только тогда, когда Eu (L₁) ≥ Eu (L₂ ),

т.е.

С точки зрения измерения полезности теория Неймана-Моргенштерна является кардиналистской, но с точки зрения предпочтений ее следует трактовать как ординалистскую (можно измерить только порядок предпочтений), поскольку она обеспечивает лишь порядковое ранжирование лотерей.

Предпочтения, придаваемые лотереям определяются по крайней мере двумя различными факторами, а именно:

1) силой предпочтений достоверных исходов;

2) отношением к риску.

Функция Неймана-Моргенштерна является составной комбинацией этих двух факторов, которая не требует ни прямого сопоставления интервалов, ни измерения силы предпочтений. Как теория предпочтений она является всецело ординалистской.

Ожидаемая полезность по Нейману-Моргенштерну линейна по вероятностям, и , соответственно, кривые безразличия функции ожидаемой полезности на (n -1)-мерном симплексе будут линейны и параллельны друг другу (рис.1.4.а. и рис.1.4.б.):

U(L) = Еu = = const .

Однако для их рассмотрения будет удобнее воспользоваться не традиционным симплексом, а так называемым треугольником Маршака-Машина( the Marschak-Machina triangle)(см. рис. 1.4.в)

Перейти к нему возможно, выразив вероятность второго исхода через вероятности первого и третьего исхода:

U(L) = Eu = = const ; =1

p3 = const + [(u2 - u1)/(u3 – u2)]p1

Тем самым кривые безразличия, изображенные в осях (p₁,p₃)

• при u₁ < u₂ < u₃ будут иметь положительный наклон ;

• представляют собой прямые линии, т.к. выражение для p₃ линейно относительно p₁;

• более того - параллельны друг другу, т.к. отношение (u₂ - u₁)/(u₃ - u₂) представляет собой некую константу.

Теория ожидаемой полезности, в условиях, когда поведение индивида соответствует аксиомам, представляет собой весьма полезный инструмент для принятия решений в условиях неопределенности. В частности, она позволяет решить проблему выбора в ситуации, когда различия в вероятностях получения призов слишком малы, и вследствие этого не могут быть оценены индивидом.

Рассмотрим две лотереи L₁ и L₂ , близко расположенные друг к другу в треугольнике Маршака - Машина.

Рис.1.5.а

Рис.1.5.б

В подобном случае уместно вспомнить о свойствах ожидаемой полезности по Н.- М., а именно, о ее линейности по вероятностям. Решая конкретную проблему о выборе одной из двух близких лотерей, следует сравнить между собой лотерею L₁ и лотерею L₃ , которой будет соответствовать точка, лежащая на продолжении прямой линии, соединяющей точки L₁ и L₂ , на некотором отдалении, достаточном для однозначного ранжирования точек L₁ и L₃ . В том случае, если L₃ L₁ , можно утверждать, что и L₂ L₁ , и , наоборот, выполнение условия L₁ L₃ должно означать, что L₁ L₂ .

Иначе говоря, усугубив различия между точками, можно сделать вывод о направлении возрастания уровня полезности вдоль линии, соединяющей две исходные точки.