21. Предпосылка общего знания и метод обратной индукции.
Рассмотрим последовательную игру
Начнем анализ с рассмотрения последней стадии, в ходе которой(разумеется, если игра не будет окончена ранее, первый игрок выберет Т(3 > 0). Осознавая это, второй игрок ходом ранее несомненно выберет Т. Его выигрыш составит 1 , что предпочтительнее получения 0 на следующей стадии. Однако понимание того, каким будет предстоящий выбор игрока 2, вынуждает игрока 1 закончить игру уже на первой стадии, что позволяет ему получить 2 вместо 1 .
Решая подобные задачи методом обратной индукции, удобно рассматривать следующую последовательность ходов, постепенно отсекая последние этапы игры и перенося выигрыши, которые сулит игрокам их поведение на последующих этапах :
Критика. Впрочем, предсказание исхода игры методом обратной индукции предполагает, как уже отмечалось, не просто рациональность игроков и не просто их осведомленность о рациональности партнера, а нечто большее- "common knowledge":
В теории игр существенны не только представления (beliefs) агентов о существенных параметрах, но и их представления о представлениях других агентов и т.д. Совокупность этих представлений называется иерархией представлений (hierarchy of beliefs) и в настоящей работе моделируется деревом информационной структуры рефлексивной игры (см. раздел 2.1). Другими словами, в ситуациях интерактивного принятия решений (моделируемых в теории игр) каждый агент перед выбором своего действия должен предсказать поведение оппонентов. Для этого у него должны быть определенные представления о видении игры оппонентами. Но оппоненты должны проделать то же самое, поэтому неопределенность относительно той игры, которая будет разыграна, порождает бесконечную иерархию представлений участников игры.
"Я знаю, что ты рационален; ты знаешь, что я знаю, что ты рационален; ты знаешь, что я знаю, что ты знаешь и т.д. и т.д.". При этом, чем более продолжительной является игра, чем более длинной становится приводимая "цепочка" рассуждений, тем менее убедительно они начинают выглядеть. Более того, заведомая выгодность продолжения игры для обоих партнеров, как в приведенной ниже сentipede game вызывает всё большие сомнения в исходе, предписываемом анализом игры методом обратной индукции, т.е. в выборе D на первом же этапе. При этом возникает естественное стремление оценить вероятность с которой игроки, осознавая свои выгоды от продолжения игры(чем дольше она длится, тем выше выигрыши), возможно будут выбирать А .
сentipede game
Вариант сentipede game
1 А1 2 А2 1 А3 2 А4 1 А5
|
D1
(1,0) |
D2
(0,1) |
D3
(3,0) |
D4
(2,4) |
D5
(6,3) |
(5,5) |
Следуя логике обратной индукции первому игроку, следует выбрать D1 , застраховав себя от возможных потерь. Но в конечном итоге оба игрока могут существенно выиграть, продолжив игру, и все зависит от оценки поведения партнера: если игрок 2 полагает, что существует не менее чем 25 % шанс, что игрок 1 выберет А3, то он сыграет А2 , что делает осмысленным и ход А1 .
Задачи:
2.Играется следующая игра: партнер дает Вам $ 100. Вы можете взять эти деньги себе или же отдать их обратно первому игроку, добавив к ним еще $ 100 . Подобная передача денег ( с соответствующим добавлением $ 100) может быть повторена 5 раз. Как Вам следует поступить?
3. Для игры, дерево которой приведено ниже, определите, пользуясь методом обратной индукции, оптимальный ход первого игрока.
О
пределите
методом обратной индукции равновесные
по Нэшу чистые стратегии всех трех
игроков:
Стратегия третьего игрока:
если первый игрок выберет Т, если второй игрок выберет Т, выбрать ...
если первый игрок выберет Т, если второй игрок выберет В, выбрать ...
если первый игрок выберет В, выбрать ...
Стратегия второго игрока:
если первый игрок выберет Т, выбрать ...
Стратегия первого игрока: выбрать ...