4.2.1. Економічні показники, обчислювані за допомогою виробничої функції

Розглянемо виробничу функцію ,

для якої існують такі економічні показники:

1) середня фондовіддача ,

2) середня продуктивність праці .

3) фондоозброєність праці . Він показує, яка кількість виробничих фондів приходиться на одиницю витрат праці.

4) Розглянемо границю: при сталих витратах праці .

Отримана частинна похідна називається граничною фондовіддачею. Вона показує, наскільки зросте обсяг виробленої продукції , якщо збільшити основні виробничі фонди на одиницю.

5) Фіксуючи витрати на основні виробничі фонди , розглянемо границю:

,

її називають граничною продуктивністю праці.

Це означає, що при збільшенні витрат праці на одну одиницю, обсяг продукції збільшиться на .

Обчислимо ці показники для виробничої функції Кобба-Дугласа:

• середня фондовіддача:

;

• середня продуктивність праці:

;

• гранична фондовіддача:

;

• гранична продуктивність праці:

.

Тепер знайдемо зв'язок між середньою і граничною фондовіддачею:

.

Оскільки , то:

,

тобто гранична фондовіддача не перевищує середню.

Аналогічно,

.

Внаслідок того, що , гранична продуктивність праці буде не більше середньої.

6) Еластичність випуску продукції по окремим факторам.

Згадаємо загальне визначення коефіцієнта еластичності:

.

Для виробничої функції визначають:

• еластичність випуску за основними виробничими фондами

;

• еластичність випуску за витратами праці

.

У випадку функції Кобба-Дугласа:

;

.

показує, що при збільшенні капіталовкладень в основні виробничі фонди на , обсяг продукції зросте на (витрати праці вважаємо незмінними). Аналогічно, при збільшенні витрат праці на при незмінних капіталовкладеннях , обсяг продукції зросте на .

7) Потреба в ресурсах.

Оскільки виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд:

,

то можливо при заданих значеннях двох змінних, визначити величину третьої. Очевидно, при заданих основних виробничих фондах і витратах праці можна знайти обсяг продукції . Крім того, маємо можливість при заданому обсязі продукції і значенні одного з ресурсів знайти потребу в іншому. Наприклад, якщо задані обсяг продукції і витрати праці , отримуємо:

.

Таким чином, у цьому випадку витрати на основні виробничі фонди складуть:

Аналогічно, якщо задані і , то

.

8) Заміщення одного ресурсу іншим.

Оскільки виробнича функція є функцією двох змінних, її графіком буде поверхня, що лежить у тривимірному просторі. Вона називається виробничою поверхнею. Враховуючи властивості виробничої функції, вона розташована в першому октанті просторової системи координат. Її не складно побудувати за допомогою таких програм як MATHCAD:

чи MS Excel:

(У силу особливості графіки MS Excel вісь, що відповідає , зрушена вправо відносно початку координат.)

Тепер розглянемо площину , паралельну площині . Вона перетинає виробничу поверхню, причому рівнянням лінії перетину буде .

Це – знайома нам з математичного аналізу лінія рівня. Такі лінії називаються ізоквантами. Саме вони «розрізають» поверхню другого малюнку на горизонтальні смуги. На координатній площині ізокванти для функції Кобба-Дугласа мають наступний вигляд:

Очевидно, що для всіх пар значень і , що задовольняють рівнянню конкретної ізокванти, обсяг продукції, що випускається, буде однаковим. Змінюється при цьому такий важливий показник як фондоозброєність:

,

оскільки, якщо ми зменшуємо (збільшуємо) витрати праці , треба збільшити (зменшити) витрати на основні виробничі фонди , щоб обсяг залишався незмінним.

Оскільки в даному випадку , повний диференціал дорівнює нулю. Згадуючи, що , і з огляду на що , отримуємо:

, звідси: .

Величина називається граничною нормою заміщення ресурсу ресурсом . Він показує, на скільки одиниць необхідно збільшити використання ресурсу , якщо ресурс зменшити на одну одиницю, щоб обсяг продукції залишився незмінним. Для функції Кобба-Дугласа отримуємо:

,

таким чином:

.

Наступною характеристикою виробничої функції є елас­тичність заміщення ресурсів:

.

Вона показує, на скількох відсотків зросте фондоозброєність, якщо гранична норма заміщення збільшиться на один відсоток. Можна довести, що для функції Кобба-Дугласа .

9) Оптимальна фондоозброєність.

Нехай у деякій галузі статистичними дослідженнями визначена виробнича функція: , де і задані у вартісному вираженні. Маємо деякий капітал . Необхідно визначити, яку частину цього капіталу варто вкласти в основні виробничі фонди, а яку – у робочу силу, щоб обсяг виробленої продукції був найбільшим.

Фактично тут ми маємо наступну задачу на знаходження умовного екстремуму:

знайти максимум функції

,

за умовою

; ,

причому

.

Знайдемо з рівняння зв'язку і підставимо в аналітичний вираз , отримаємо

.

Внаслідок того, що , вихідна задача еквівалентна задачі на знаходження найбільшого значення функції

на відрізку .

Знайдемо похідну

Із вимоги випливає, що , тому точка є критичною. Крім того, критичними є точки і - у них похідна не існує. Підставляючи в отримуємо:

;

.

Таким чином,

Відповідне значення складе: .

Отже, для того, щоб одержати найбільший обсяг про­дукції при обмеженні на вкладені засоби , необхідно, щоб витрати на основні виробничі фонди склали , а витрати праці: . Очевидно, що фондоозброєність при цьому складе:

.

Для функції Кобба-Дугласа дане співвідношення називається оптимальною фондоозброєністю. У загальному ви­пад­ку, коли і задані в інших одиницях виміру, відмінних від грошових, співвідношення виглядає таким чином:

,

де і - відповідно ціни основних виробничих фондів і робочої сили.

Можлива також інша постановка задачі:

нехай у деякій галузі статистичними дослідженнями визначена виробнича функція: , причому і задані в грошовому еквіваленті. Потрібно побудувати підприємство, що обслуговує виконання замовлення на суму грошових одиниць. Необхідно визначити, якими повинні бути витрати на основні фонди і витрати праці , щоб при виконанні замовлення витрата засобів була найменшою.

Це також задача на відшукання умовного екстремуму:

Як і в попередній задачі, аналогічні міркування показують, що оптимальна фондоозброєність також складе

,

причому основні виробничі фонди повинні бути використані в обсязі:

,

а витрати праці складуть:

.