Портфель з багатьох видів цінних паперів

Залежно від цілей інвестора можна вирізнити кілька задач формування портфеля. Розглянемо їх сутність і математичні моделі.

Задача збереження капіталу. Сутність задачі полягає у виборі такої структури ПЦП, щоб оцінка ризику портфеля була міні­мальною. Формально це однокритеріальна оптимізаційна задача (нелінійного програмування).

Математична модель задачі:

Портфель із мінімальним ризиком у моделі Марковіца існує завжди. Знайти структуру такого ПЦП можна, побудувавши функ­цію Лагранжа та визначивши її точки мінімуму.

Задача одержання бажаного (фіксованого) прибутку (модель Марковіца). Сутність задачі полягає у виборі такої структури 1ЩП, за якої його сподівана норма прибутку буде не меншою за­даного рівня — ( - соnst), а оцінка ризику при цьому буде мінімальною. Формально це однокритеріальна задача на умовний екстремум.

Математична модель задачі:

Задача забезпечення приросту капіталу. Сутність задачі поля­гає у виборі такої структури ПЦП, щоб його оцінка ризику не пе­ревищувала заданого рівня — при цьому досяга­лася б максимальна величина сподіваної норми прибутку. Формально, як і в попередньому випадку, це однокритеріальна задача на умовний екстремум.

Математична модель задачі:

Включення в портфель безризикових цінних паперів

Нехай х — частка капіталу, яку інвестор розмістив у вигляді портфеля , сформованого на основі ризикових вкладень, (1 — х) — частка засобів, розміщена під фіксований відсоток у безризикові ЦП. Випадкова величина норми прибутку такого розміщення капіталу: ,сподівана норма прибутку: ; а оцінка ризику, враховуючи, що , дорівнює:

Отже, х = . Звідси можемо отримати рівняння залежнос­ті сподіваної норми прибутку від ступеня ризику:

Це рівняння в просторі (т, ) визначає пряму, яку називають лінією ринку капіталів. Вона характеризує ПЦП, що складаються як із безризикових ЦП, так і з ЦП, обтяжених ризиком.

Випадок, коли 0 < х < 1, можна розглядати як ситуацію на­дання кредиту (інвестування) під фіксований відсоток .

Випадок, коли х > 1 означає, що інвестор може скористатися позикою й інвестувати в ринковий портфель Е( ) більше, ніж величина його власного початкового капіталу — ситуація отримання кредиту під фіксований відсоток .

Ринкова модель (однофакторна модель Шарпа формування норми прибутку)

Норми прибутків більшості акцій тісно пов'язані з загальною дохідністю ринку ЦП, яка змінюється під впливом макроекономічних, політичних та інших чинників. Цю залежність американ­ський економіст В. Шарп відобразив у так званій ринковій моделі:

Тут - норма прибутку і-ої акції, - коефіцієнт зміщення, — коефіцієнт нахилу, — норма прибутку ринкового порт­феля, — випадкове відхилення (випадкова величина, для якої ) = 0). Ринковий портфель — це портфель, який включає всі наявні на ринку ЦП, у пропорції, що відповідає часткам окремих ЦП у загальній капіталізації ринку. Для моделювання в якості ринко­вого портфеля використовують певний фондовий індекс (напри­клад, у США —Standart and Poor’s 500). При цьому виникає проблема адекватності подібної заміни — наскільки повно і точ­но індекс може характеризувати всі присутні на ринку ЦП.

Коефіцієнт «бета» для і-ої акції обчислюється таким чином:

Для акції, норма прибутку якої віддзеркалює прибутковість ринку, коефіцієнт дорівнює 1. У свою чергу, акціям з коефіцієн­том , більшим за одиницю, властива більша мінливість норми прибутку, ніж ринку загалом. Їх називають «агресивними акція­ми». І навпаки, акції з коефіцієнтом , меншим за одиницю, ма­ють меншу мінливість за ринок у цілому, і їх називають «оборон­ними акціями».