Вопросы к разделу 2.4

1. Какую информацию содержит вектор состояния системы?

2. Какая теорема позволяет перейти от линейного дифференциального уравнения n-го порядка к векторно-матричному уравнению состояния?

3. Что описывает уравнение состояния?

4. Что описывает уравнение наблюдения?

5. Какова размерность матрицы объекта?

6. Какова размерность матрицы управления?

2.5. Векторы

1. Внутреннее, или скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов x и y одинаковой размерности (n×1) обозначается <x, y> и определяется в общем случае комплексных x, y следующим образом:

для действительных векторов x и y:

О р т о г о н а л ь н ы е в е к т о р ы

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение <x, y> равно нулю:

<x , y> = 0 .

2. Внешнее, или векторное произведение векторов

Если вектор-столбец x размерности (m×1) обозначить через x>, а вектор-строку [y*]^T размерности (1×n) обозначить через <y, то внешним произведением x> <y будет матрица (m×n):

2.5.3. Длина вектора

В общем случае длина вектора x, называемая также нормой, определяется следующим образом:

Для действительных x:

2.5.4. Неравенства

2.5.4.1. Неравенство треугольника:

2.5.4.2. Неравенство Шварца:

Единичный вектор – вектор, длина (норма) которого равна единице:

2.5.5. Линейная независимость векторов

Векторы x_i (i=1, 2, 3, …, m) называются линейно независимыми, если не существует постоянных величин k_i (i=1, 2, 3,…, m), из которых хотя бы одна отлична от нуля, так что можно было бы записать:

2.5.6. Особенная матрица

     Если строки или столбцы матрицы не являются линейно-независимыми, в этом случае определитель этой матрицы равен нулю. 

В ы р о ж д е н н о с т ь

Если строки особенной матрицы связаны одним линейным соотношением, то матрица называется просто вырожденной или однократно вырожденной. Если строки особенной матрицы связаны более чем одним линейным соотношением, то матрица многократно вырожденная.         Рангом r матрицы А называется наивысший порядок миноров матрицы А, отличных от нуля.

r = n – q,

где q – вырожденность, или дефект.

П р а в и л о в ы р о ж д е н н о с т и С и л ь в е с т р а

        Дефект произведения матриц не меньше дефектов каждой из матриц и не больше суммы дефектов матриц-сомножителей:

2.5.7. Определитель Грама

Определитель Грама строится для системы векторов в предположении, что векторы x_i линейно зависимы:            

.

Запишем последовательно скалярные произведения векторов x_i :

           

Известно, что система однородных уравнений (в данном случае относительно неизвестных k_i) имеет нетривиальное решение только в том случае, если определитель матрицы с коэффициентами <x_i , x_j> равен нулю. Этот определитель и называется определителем Грама:

В результате можно сделать следующий вывод.

Система векторов x₁,…, x_m линейно независима в том случае, когда определитель Грама не равен нулю.

В том случае, когда x₁,…, x_m – система ортогональных векторов, определитель Грама приобретает диагональный вид.